C 5 reducción de fracciones. Regla de reducción de fracciones algebraicas

Las fracciones y su reducción es otro tema que se inicia en 5to grado. Aquí se forma la base de esta acción, y luego estas habilidades son arrastradas por un hilo hacia las matemáticas superiores. Si el estudiante no entiende, entonces puede tener problemas en álgebra. Por lo tanto, es mejor comprender algunas reglas de una vez por todas. Y también recuerda una prohibición y nunca la violes.

Fracción y su reducción.

Cada estudiante sabe lo que es. Dos dígitos cualesquiera situados entre una línea horizontal se perciben inmediatamente como una fracción. Sin embargo, no todo el mundo comprende que cualquier número puede convertirse en él. Si es un número entero, siempre se puede dividir por uno y luego se obtiene una fracción impropia. Pero hablaremos de eso más adelante.

El comienzo es siempre sencillo. Primero necesitas descubrir cómo reducir una fracción adecuada. Es decir, aquel en el que el numerador es menor que el denominador. Para hacer esto, necesitarás recordar la propiedad básica de una fracción. Afirma que al multiplicar (además de dividir) su numerador y denominador a la vez por el mismo número se obtiene una fracción equivalente.

Acciones de división que se realicen sobre esta propiedad y resulten en una reducción. Es decir, simplificarlo al máximo. Una fracción se puede reducir siempre que haya factores comunes encima y debajo de la línea. Cuando ya no están, la reducción es imposible. Y dicen que esta fracción es irreducible.

Dos maneras

1.Reducción paso a paso. Utiliza un método de estimación donde ambos números se dividen por el mínimo común divisor que el alumno nota. Si después de la primera contracción queda claro que esto no es el final, entonces la división continúa. Hasta que la fracción se vuelva irreducible.

2. Encontrar el máximo común divisor del numerador y denominador. Esta es la forma más racional de reducir fracciones. Implica factorizar el numerador y el denominador en factores primos. Entre ellos, deberás elegir todos iguales. Su producto dará el máximo común divisor por el cual se reduce la fracción.

Ambos métodos son equivalentes. Se anima al alumno a dominarlos y utilizar el que más le guste.

¿Qué pasa si hay letras y operaciones de suma y resta?

La primera parte de la pregunta es más o menos clara. Las letras se pueden abreviar como los números. Lo principal es que actúan como multiplicadores. Pero mucha gente tiene problemas con el segundo.

¡Importante recordar! Sólo puedes reducir números que son factores. Si son mandamientos, es imposible.

Para entender cómo reducir fracciones que tienen la forma de una expresión algebraica, debes entender la regla. Primero, representa el numerador y el denominador como un producto. Luego puedes reducir si aparecen factores comunes. Para representarlo en forma de multiplicadores son útiles las siguientes técnicas:

• agrupamiento;
• paréntesis;
• Aplicación de identidades de multiplicación abreviadas.

Además, este último método permite obtener inmediatamente los términos en forma de multiplicadores. Por lo tanto, siempre se debe utilizar si se ve un patrón conocido.

Pero esto todavía no da miedo, entonces aparecen tareas con grados y raíces. Ahí es cuando necesitas reunir coraje y aprender un par de reglas nuevas.

Expresión con grado

Fracción. El numerador y el denominador son el producto. Hay letras y números. Y también se elevan a una potencia, que también consta de términos o factores. Hay algo que temer.

Para entender cómo reducir fracciones con potencias, necesitarás aprender dos cosas:

• si el exponente contiene una suma, entonces se puede descomponer en factores, cuyas potencias serán los términos originales;
• si es la diferencia, entonces el dividendo y el divisor, el primero tendrá el minuendo elevado, el segundo tendrá el sustraendo.

Después de completar estos pasos, los multiplicadores totales se vuelven visibles. En tales ejemplos no es necesario calcular todas las potencias. Basta simplemente reducir grados con los mismos exponentes y bases.

Para finalmente dominar cómo reducir fracciones con potencias, necesitas mucha práctica. Después de varios ejemplos similares, las acciones se realizarán automáticamente.

¿Qué pasa si la expresión contiene una raíz?

También se puede acortar. Sólo que de nuevo, siguiendo las reglas. Además, todo lo descrito anteriormente es cierto. En general, si la pregunta es cómo reducir una fracción con raíces, entonces es necesario dividirla.

También se puede dividir en expresiones irracionales. Es decir, si el numerador y el denominador contienen factores idénticos encerrados bajo el signo de la raíz, entonces se pueden reducir de forma segura. Esto simplificará la expresión y completará la tarea.

Si, después de la reducción, la irracionalidad permanece debajo de la línea de fracción, entonces debes deshacerte de ella. En otras palabras, multiplica el numerador y el denominador por él. Si aparecen factores comunes después de esta operación, será necesario reducirlos nuevamente.

Probablemente se trate de cómo reducir fracciones. Hay pocas reglas, pero solo una prohibición. ¡Nunca acortes los plazos!

Entonces, ya sabemos que el numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar y dividir por el mismo número, la fracción no cambiará. Consideremos tres enfoques:

Acércate a uno.

Para reducir, divide el numerador y el denominador por un divisor común. Veamos ejemplos:

Acortemos:

En los ejemplos dados, vemos inmediatamente qué divisores tomar para la reducción. El proceso es simple: pasamos por 2,3,4,5 y así sucesivamente. En la mayoría de los ejemplos de cursos escolares, esto es suficiente. Pero si es una fracción:

Aquí el proceso de selección de divisores puede llevar mucho tiempo;). Por supuesto, estos ejemplos están fuera del plan de estudios de la escuela, pero es necesario poder afrontarlos. A continuación veremos cómo se hace esto. Por ahora, volvamos al proceso de reducción de personal.

Como se mencionó anteriormente, para reducir una fracción, la dividimos por el divisor común que determinamos. ¡Todo es correcto! Sólo hay que añadir signos de divisibilidad de números:

- si el número es par, entonces es divisible por 2.

- si un número de los dos últimos dígitos es divisible por 4, entonces el número en sí es divisible por 4.

— si la suma de los dígitos que componen el número es divisible por 3, entonces el número en sí es divisible por 3. Por ejemplo, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Doce es divisible por 3, por lo que 123031 es divisible por 3.

- si el número termina en 5 o 0, entonces el número es divisible por 5.

— si la suma de los dígitos que componen el número es divisible por 9, entonces el número en sí es divisible por 9. Por ejemplo, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Dieciocho es divisible por 9, lo que significa que 623032 es divisible por 9.

Segundo enfoque.

En pocas palabras, de hecho, toda la acción se reduce a factorizar el numerador y el denominador y luego reducir los factores iguales en el numerador y el denominador (este enfoque es una consecuencia del primer enfoque):

Visualmente, para evitar confusiones y errores, los factores iguales simplemente se tachan. Pregunta: ¿cómo factorizar un número? Es necesario determinar todos los divisores mediante la búsqueda. Este es un tema aparte, no es complicado, busca la información en un libro de texto o en Internet. No encontrarás grandes problemas al factorizar números que están presentes en las fracciones escolares.

Formalmente, el principio de reducción se puede escribir de la siguiente manera:

Acércate a tres.

Aquí está lo más interesante para los avanzados y aquellos que quieran llegar a serlo. Reduzcamos la fracción 143/273. ¡Pruébalo tú mismo! Bueno, ¿cómo sucedió tan rápido? ¡Ahora mira!

Le damos la vuelta (cambiamos de lugar del numerador y denominador). Divida la fracción resultante con una esquina y conviértala a numero mixto, es decir, seleccionamos la parte entera:

Ya es más fácil. Vemos que el numerador y denominador se pueden reducir en 13:

Ahora no olvides volver a invertir la fracción, escribamos toda la cadena:

Comprobado: lleva menos tiempo que buscar y comprobar divisores. Volvamos a nuestros dos ejemplos:

Primero. Dividiendo por una esquina (no en una calculadora), obtenemos:

Esta fracción es más sencilla, por supuesto, pero la reducción vuelve a ser un problema. Ahora analizamos por separado la fracción 1273/1463 y le damos la vuelta:

Es más fácil aquí. Podemos considerar un divisor como 19. Los demás no sirven, esto está claro: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. ¡Hurra! Anotemos:

Siguiente ejemplo. Acortémoslo a 88179/2717.

Dividiendo, obtenemos:

Por separado analizamos la fracción 1235/2717 y le damos la vuelta:

Podemos considerar un divisor como 13 (hasta 13 no es adecuado):

Numerador 247:13=19 Denominador 1235:13=95

*Durante el proceso vimos otro divisor igual a 19. Resulta que:

Ahora anotamos el número original:

Y no importa qué sea más grande en la fracción: el numerador o el denominador, si es el denominador, le damos la vuelta y actuamos como se describe. De esta forma podemos reducir cualquier fracción; el tercer enfoque puede llamarse universal.

Por supuesto, los dos ejemplos discutidos anteriormente no son ejemplos simples. Probemos esta tecnología con las fracciones "simples" que ya hemos considerado:

Dos cuartos.

Setenta y dos años sesenta. El numerador es mayor que el denominador; no es necesario invertirlo:

Por supuesto, el tercer enfoque se aplicó a tales ejemplos simples simplemente como una alternativa. El método, como ya se dijo, es universal, pero no es conveniente ni correcto para todas las fracciones, especialmente las simples.

La variedad de fracciones es grande. Es importante que comprenda los principios. Simplemente no existe una regla estricta para trabajar con fracciones. Miramos, descubrimos cómo sería más conveniente actuar y seguimos adelante. Con la práctica la habilidad vendrá y las romperás como semillas.

Conclusión:

Si ve uno o más divisores comunes para el numerador y el denominador, utilícelos para reducir.

Si sabes cómo factorizar rápidamente un número, factoriza el numerador y el denominador y luego reduce.

Si no puedes determinar el divisor común, utiliza el tercer método.

*Para reducir fracciones, es importante dominar los principios de reducción, comprender la propiedad básica de una fracción, conocer métodos de resolución y tener mucho cuidado al realizar cálculos.

¡Y recuerda! Se acostumbra reducir una fracción hasta el tope, es decir, reducirla mientras exista un divisor común.

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

Entendamos qué es la reducción de fracciones, por qué y cómo reducir fracciones, le daremos la regla para reducir fracciones y ejemplos de su uso.

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¿Qué es "fracciones reductoras"?

Reducir una fracción es dividir su numerador y denominador por un factor común positivo y distinto de uno.

Como resultado de esta acción se obtendrá una fracción con un nuevo numerador y denominador, igual a la fracción original.

Por ejemplo, tomemos fracción común 6 24 y acortarlo. Divide el numerador y el denominador entre 2, lo que da como resultado 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. En este ejemplo, reducimos la fracción original en 2.

Reducir fracciones a forma irreducible

En el ejemplo anterior, redujimos la fracción 6 24 por 2, lo que resultó en la fracción 3 12. Es fácil ver que esta fracción se puede reducir aún más. Normalmente, el objetivo de reducir fracciones es obtener una fracción irreducible. ¿Cómo reducir una fracción a su forma irreducible?

Esto se puede hacer reduciendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD). Entonces, por la propiedad del máximo común divisor, el numerador y el denominador serán mutuamente numeros primos, y la fracción será irreducible.

a b = a ÷ NO D (a, b) b ÷ NO D (a, b)

Reducir una fracción a una forma irreducible

Para reducir una fracción a una forma irreducible, debes dividir su numerador y denominador por su mcd.

Volvamos a la fracción 6 24 del primer ejemplo y llevémosla a su forma irreducible. El máximo común divisor de los números 6 y 24 es 6. Reduzcamos la fracción:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Es conveniente utilizar la reducción de fracciones para no trabajar con en grandes números. En general, existe una regla tácita en matemáticas: si puedes simplificar cualquier expresión, entonces debes hacerlo. Reducir una fracción suele significar reducirla a una forma irreducible y no simplemente reducirla por el divisor común del numerador y denominador.

Regla para reducir fracciones.

Para reducir fracciones, basta con recordar la regla, que consta de dos pasos.

Regla para reducir fracciones.

Para reducir una fracción necesitas:

1. Encuentra el mcd del numerador y denominador.
2. Divide el numerador y el denominador por su mcd.

Veamos ejemplos prácticos.

Ejemplo 1. Reduzcamos la fracción.

Dada la fracción 182 195. Acortémoslo.

Encontremos el mcd del numerador y denominador. Para ello, en este caso lo más conveniente es utilizar el algoritmo euclidiano.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Divide el numerador y el denominador entre 13. Obtenemos:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Listo. Hemos obtenido una fracción irreducible que es igual a la fracción original.

¿De qué otra manera puedes reducir fracciones? En algunos casos, es conveniente factorizar el numerador y el denominador en factores primos y luego eliminar todos los factores comunes de las partes superior e inferior de la fracción.

Ejemplo 2. Reducir la fracción

Dada la fracción 360 2940. Acortémoslo.

Para hacer esto, imagina la fracción original en la forma:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Eliminemos los factores comunes en el numerador y denominador, lo que da como resultado:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Finalmente, veamos otra forma de reducir fracciones. Esta es la llamada reducción secuencial. Con este método, la reducción se lleva a cabo en varias etapas, en cada una de las cuales la fracción se reduce por algún factor común obvio.

Ejemplo 3. Reducir la fracción

Reduzcamos la fracción 2000 4400.

Inmediatamente queda claro que el numerador y el denominador tienen un factor común de 100. Reducimos la fracción a 100 y obtenemos:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

El resultado resultante lo reducimos nuevamente a 2 y obtenemos una fracción irreducible:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

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Para entender cómo reducir fracciones, veamos primero un ejemplo.

Reducir una fracción significa dividir el numerador y el denominador entre lo mismo. Tanto 360 como 420 terminan en un dígito, por lo que podemos reducir esta fracción a 2. En la nueva fracción, tanto 180 como 210 también son divisibles por 2, por lo que reducimos esta fracción a 2. En los números 90 y 105, la suma de los dígitos es divisible por 3, por lo que ambos números son divisibles por 3, reducimos la fracción por 3. En la nueva fracción, 30 y 35 terminan en 0 y 5, lo que significa que ambos números son divisibles por 5, por lo que reducimos la fracción por 5. La fracción resultante de seis séptimos es irreducible. Esta es la respuesta final.

Podemos llegar a la misma respuesta de otra manera.

Tanto 360 como 420 terminan en cero, lo que significa que son divisibles por 10. Reducimos la fracción por 10. En la nueva fracción, tanto el numerador 36 como el denominador 42 se dividen entre 2. Reducimos la fracción por 2. En el siguiente fracción, tanto el numerador 18 como el denominador 21 se dividen entre 3, lo que significa que reducimos la fracción en 3. Llegamos al resultado: seis séptimos.

Y una solución más.

La próxima vez veremos ejemplos de fracciones reductoras.

En este artículo veremos operaciones básicas con fracciones algebraicas:

• fracciones reductoras
• multiplicar fracciones
• dividir fracciones

Empecemos con reducción de fracciones algebraicas.

parecería algoritmo obvio.

A reducir fracciones algebraicas , necesito

1. Factoriza el numerador y denominador de la fracción.

2. Reducir factores iguales.

Sin embargo, los escolares suelen cometer el error de “reducir” no los factores, sino los términos. Por ejemplo, hay aficionados que "reducen" fracciones y obtienen como resultado lo que, por supuesto, no es cierto.

Veamos ejemplos:

1. Reducir una fracción:

1. Factoricemos el numerador usando la fórmula del cuadrado de la suma y el denominador usando la fórmula de la diferencia de cuadrados.

2. Divide el numerador y el denominador entre

2. Reducir una fracción:

1. Factoricemos el numerador. Como el numerador contiene cuatro términos, utilizamos agrupación.

2. Factoricemos el denominador. También podemos utilizar la agrupación.

3. Anotamos la fracción que obtuvimos y reducimos los mismos factores:

Multiplicación de fracciones algebraicas.

Al multiplicar fracciones algebraicas, multiplicamos el numerador por el numerador y multiplicamos el denominador por el denominador.

¡Importante! No hay necesidad de apresurarse a multiplicar el numerador y el denominador de una fracción. Después de haber escrito el producto de los numeradores de las fracciones en el numerador y el producto de los denominadores en el denominador, debemos factorizar cada factor y reducir la fracción.

Veamos ejemplos:

3. Simplifica la expresión:

1. Escribamos el producto de fracciones: en el numerador el producto de los numeradores, y en el denominador el producto de los denominadores:

2. Factoricemos cada paréntesis:

Ahora necesitamos reducir los mismos factores. Tenga en cuenta que las expresiones y difieren sólo en el signo: y como resultado de dividir la primera expresión por la segunda obtenemos -1.

Entonces,

Dividimos fracciones algebraicas según la siguiente regla:

Eso es Para dividir por una fracción, debes multiplicar por la fracción "invertida".

Vemos que dividir fracciones se reduce a multiplicar, y En última instancia, la multiplicación se reduce a reducir fracciones.

Veamos un ejemplo:

4. Simplifica la expresión: