El mínimo común múltiplo de varios números. Cómo encontrar MCM (mínimo común múltiplo)

Expresiones Matemáticas y las tareas requieren muchos conocimientos adicionales. NOC es uno de los principales, se utiliza especialmente en El tema se estudia en la escuela secundaria y no es particularmente difícil comprender el material, una persona familiarizada con las potencias y la tabla de multiplicar no tendrá dificultades para identificar los números necesarios y descubrirlos; resultado.

Definición

Un múltiplo común es un número que se puede dividir completamente en dos números al mismo tiempo (a y b). La mayoría de las veces, este número se obtiene multiplicando los números originales a y b. El número debe ser divisible por ambos números a la vez, sin desviaciones.

NOC es la designación aceptada nombre corto, recogido de las primeras letras.

Formas de obtener un número

El método de multiplicación de números no siempre es adecuado para encontrar el MCM; es mucho más adecuado para números simples de uno o dos dígitos. Se acostumbra dividir en factores; cuanto mayor sea el número, más factores habrá.

Ejemplo #1

Para el ejemplo más simple, las escuelas suelen utilizar números primos, de uno o dos dígitos. Por ejemplo, necesitas resolver la siguiente tarea, encontrar el mínimo común múltiplo de los números 7 y 3, la solución es bastante simple, solo multiplícalos. Como resultado, hay un número 21, simplemente no hay un número más pequeño.

Ejemplo No. 2

La segunda versión de la tarea es mucho más complicada. Se dan los números 300 y 1260, es obligatorio encontrar el LOC. Para solucionar el problema se asumen las siguientes acciones:

Descomposición del primer y segundo número en factores simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Se completa la primera etapa.

La segunda etapa implica trabajar con datos ya obtenidos. Cada uno de los números recibidos deberá participar en el cálculo del resultado final. Para cada factor, se toma el mayor número de apariciones de los números originales. NOC es número total, por lo tanto, en él se deben repetir los factores de los números, todos y cada uno de ellos, incluso los que están presentes en una sola copia. Ambos números iniciales contienen los números 2, 3 y 5, en diferentes grados, 7 está presente en un solo caso.

Para calcular el resultado final, debes tomar cada número en la mayor de las potencias representadas en la ecuación. Sólo queda multiplicar y obtener la respuesta, con llenado correcto La tarea se divide en dos pasos sin explicación:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Ese es el problema, si intentas calcular el número requerido mediante la multiplicación, entonces la respuesta definitivamente no será correcta, ya que 300 * 1260 = 378 000.

Examen:

6300/300 = 21 - correcto;

6300/1260 = 5 - correcto.

La exactitud del resultado obtenido se determina verificando: dividiendo el MCM entre ambos números originales; si el número es un número entero en ambos casos, entonces la respuesta es correcta.

¿Qué significa NOC en matemáticas?

Como sabes, no existe una sola función inútil en matemáticas, ésta no es una excepción. El propósito más común de este número es reducir fracciones a un denominador común. Lo que se suele estudiar en los grados 5-6 escuela secundaria. Además, es un divisor común para todos los múltiplos, si tales condiciones están presentes en el problema. Con una expresión similar se pueden encontrar múltiplos no solo de dos números, sino también de números mucho más grandes: tres, cinco, etc. Cómo mas numeros- cuantas más acciones hay en la tarea, pero la complejidad no aumenta.

Por ejemplo, dados los números 250, 600 y 1500, necesitas encontrar su MCM común:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2: este ejemplo describe la factorización en detalle, sin reducción.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Para componer una expresión, es necesario mencionar todos los factores, en este caso se dan 2, 5, 3; para todos estos números es necesario determinar el grado máximo.

Atención: todos los factores deben llevarse al punto de simplificación completa, si es posible, descompuestos al nivel de un solo dígito.

Examen:

1) 3000/250 = 12 - correcto;

2) 3000/600 = 5 - verdadero;

3) 3000/1500 = 2 - correcto.

Este método no requiere trucos ni habilidades de nivel genio, todo es simple y claro.

otra manera

En matemáticas, muchas cosas están conectadas, muchas cosas se pueden resolver de dos o más maneras, lo mismo ocurre con encontrar el mínimo común múltiplo, MCM. El siguiente método se puede utilizar en el caso de números simples de dos dígitos y números de un solo dígito. Se compila una tabla en la que se ingresa el multiplicando verticalmente, el multiplicando horizontalmente y el producto se indica en las celdas que se cruzan de la columna. Puede reflejar la tabla usando una línea, tomar un número y anotar los resultados de multiplicar este número por números enteros, del 1 al infinito, a veces son suficientes 3-5 puntos, el segundo número y los siguientes pasan por el mismo proceso computacional. Todo sucede hasta que se encuentra un múltiplo común.

Dados los números 30, 35, 42, necesitas encontrar el MCM que conecta todos los números:

1) Múltiplos de 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Múltiplos de 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Múltiplos de 42: 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Se nota que todos los números son bastante diferentes, el único número común entre ellos es el 210, por lo que será el CON. Entre los procesos involucrados en este cálculo también hay un máximo común divisor, que se calcula según principios similares y se encuentra a menudo en problemas vecinos. La diferencia es pequeña, pero bastante significativa, el MCM implica calcular un número que se divide por todos los valores iniciales dados y el MCD implica calcular valor más alto por el cual se dividen los números originales.

Continuamos la conversación sobre el mínimo común múltiplo, que comenzamos en la sección "MCM - mínimo común múltiplo, definición, ejemplos". En este tema, veremos formas de encontrar el MCM de tres o más números y analizaremos la cuestión de cómo encontrar el MCM de un número negativo.

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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD

Ya hemos establecido la relación entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Ahora aprendamos cómo determinar el LCM mediante MCD. Primero, descubramos cómo hacer esto con números positivos.

Definición 1

Puedes encontrar el mínimo común múltiplo hasta el máximo común divisor usando la fórmula MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).

Ejemplo 1

Necesitas encontrar el MCM de los números 126 y 70.

Solución

Tomemos a = 126, b = 70. Sustituyamos los valores en la fórmula para calcular el mínimo común múltiplo hasta el máximo común divisor MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Calcula el mcd de los números 70 y 126. Para esto necesitamos el algoritmo euclidiano: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, por lo tanto MCD (126 , 70) = 14 .

Calculemos el MCM: MCD (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Respuesta: MCM(126, 70) = 630.

Ejemplo 2

Encuentra el número 68 y 34.

Solución

En este caso, el MCD no es difícil de encontrar, ya que 68 es divisible por 34. Calculemos el mínimo común múltiplo usando la fórmula: MCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Respuesta: MCM(68, 34) = 68.

En este ejemplo, usamos la regla para encontrar el mínimo común múltiplo de enteros positivos a y b: si el primer número es divisible por el segundo, el MCM de esos números será igual al primer número.

Encontrar el MCM factorizando números en factores primos

Ahora veamos el método para encontrar el MCM, que se basa en factorizar números en factores primos.

Definición 2

Para encontrar el mínimo común múltiplo, debemos realizar una serie de sencillos pasos:

• componemos el producto de todos los factores primos de los números para los cuales necesitamos encontrar el MCM;
• excluimos todos los factores primos de sus productos resultantes;
• el producto obtenido tras eliminar los factores primos comunes será igual al mcm de los números dados.

Este método para encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la igualdad MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b). Si nos fijamos en la fórmula, quedará claro: el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores que participan en la descomposición de estos dos números. En este caso, el mcd de dos números es igual al producto de todos los factores primos que están presentes simultáneamente en las factorizaciones de los dos números dados.

Ejemplo 3

Tenemos dos números 75 y 210. Podemos factorizarlos de la siguiente manera: 75 = 3 5 5 Y 210 = 2 3 5 7. Si compones el producto de todos los factores de los dos números originales, obtienes: 2 3 3 5 5 5 7.

Si excluimos los factores comunes a los números 3 y 5, obtenemos un producto de la siguiente forma: 2 3 5 5 7 = 1050. Este producto será nuestro LCM para los números 75 y 210.

Ejemplo 4

Encuentra el MCM de los números 441 Y 700 , factorizando ambos números en factores primos.

Solución

Encontremos todos los factores primos de los números dados en la condición:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obtenemos dos cadenas de números: 441 = 3 3 7 7 y 700 = 2 2 5 5 7.

El producto de todos los factores que participaron en la descomposición de estos números tendrá la forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Encontremos factores comunes. Este es el número 7. Excluyémoslo del producto total: 2 2 3 3 5 5 7 7. Resulta que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Respuesta: LOC(441, 700) = 44,100.

Demos otra formulación del método para encontrar el MCM descomponiendo números en factores primos.

Definición 3

Anteriormente, excluimos del número total de factores comunes a ambos números. Ahora lo haremos de otra manera:

• Factoricemos ambos números en factores primos:
• sumar al producto de los factores primos del primer número los factores faltantes del segundo número;
• obtenemos el producto, que será el MCM deseado de dos números.

Ejemplo 5

Volvamos a los números 75 y 210, para los que ya buscamos el MCM en uno de los ejemplos anteriores. Dividámoslos en factores simples: 75 = 3 5 5 Y 210 = 2 3 5 7. Al producto de los factores 3, 5 y 5 números 75 suman los factores que faltan 2 Y 7 números 210. Obtenemos: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Este es el MCM de los números 75 y 210.

Ejemplo 6

Es necesario calcular el MCM de los números 84 y 648.

Solución

Factoricemos los números de la condición en factores simples: 84 = 2 2 3 7 Y 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Sumemos al producto los factores 2, 2, 3 y 7 números 84 factores faltantes 2, 3, 3 y
3 números 648. Obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Este es el mínimo común múltiplo de 84 y 648.

Respuesta: MCM(84, 648) = 4,536.

Encontrar el MCM de tres o más números

Independientemente de con cuántos números estemos tratando, el algoritmo de nuestras acciones siempre será el mismo: encontraremos secuencialmente el MCM de dos números. Hay un teorema para este caso.

Teorema 1

Supongamos que tenemos números enteros. un 1 , un 2 , ... , un k. CON mk estos números se encuentran calculando secuencialmente m 2 = MCM (a 1, a 2), m 3 = MCM (m 2, a 3), ..., m k = MCM (m k − 1, a k).

Ahora veamos cómo se puede aplicar el teorema para resolver problemas específicos.

Ejemplo 7

Necesitas calcular el mínimo común múltiplo de cuatro números 140, 9, 54 y 250 .

Solución

Introduzcamos la notación: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Comencemos calculando m 2 = MCM (a 1, a 2) = MCM (140, 9). Apliquemos el algoritmo euclidiano para calcular el MCD de los números 140 y 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Obtenemos: MCD (140, 9) = 1, MCD (140, 9) = 140 9: MCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Por tanto, m2 = 1.260.

Ahora calculemos usando el mismo algoritmo m 3 = MCM (m 2 , a 3) = MCM (1 260, 54). Durante los cálculos obtenemos m 3 = 3 780.

Todo lo que tenemos que hacer es calcular m 4 = MCM (m 3 , a 4) = MCM (3 780, 250). Seguimos el mismo algoritmo. Obtenemos m 4 = 94 500.

El MCM de los cuatro números de la condición de ejemplo es 94500.

Respuesta: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Como puede ver, los cálculos son simples, pero bastante laboriosos. Para ahorrar tiempo, puedes ir por otro camino.

Definición 4

Le ofrecemos el siguiente algoritmo de acciones:

• descomponemos todos los números en factores primos;
• al producto de los factores del primer número le sumamos los factores que faltan del producto del segundo número;
• al producto obtenido en la etapa anterior le sumamos los factores faltantes del tercer número, etc.;
• el producto resultante será el mínimo común múltiplo de todos los números de la condición.

Ejemplo 8

Necesitas encontrar el MCM de cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Solución

Factoricemos los cinco números en factores primos: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Los números primos, que es el número 7, no se pueden descomponer en factores primos. Estos números coinciden con su descomposición en factores primos.

Ahora tomemos el producto de los factores primos 2, 2, 3 y 7 del número 84 y sumémosles los factores que faltan del segundo número. Descompusimos el número 6 en 2 y 3. Estos factores ya están en el producto del primer número. Por tanto, los omitimos.

Seguimos sumando los multiplicadores que faltan. Pasemos al número 48, de cuyo producto de factores primos tomamos 2 y 2. Luego sumamos el factor primo de 7 del cuarto número y los factores de 11 y 13 del quinto. Obtenemos: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Este es el mínimo común múltiplo de los cinco números originales.

Respuesta: MCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos

Para encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos, estos números primero deben reemplazarse por números con el signo opuesto y luego los cálculos deben realizarse utilizando los algoritmos anteriores.

Ejemplo 9

MCM (54, − 34) = MCM (54, 34) y MCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = MCM (622, 46, 54, 888).

Tales acciones están permitidas debido al hecho de que si aceptamos que a Y − un– números opuestos,
entonces el conjunto de los múltiplos de un número a coincide con el conjunto de múltiplos de un número − un.

Ejemplo 10

Es necesario calcular el MCM de números negativos. − 145 Y − 45 .

Solución

Reemplacemos los números − 145 Y − 45 a sus números opuestos 145 Y 45 . Ahora, usando el algoritmo, calculamos el MCM (145, 45) = 145 · 45: MCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, habiendo determinado previamente el MCD usando el algoritmo euclidiano.

Obtenemos que el MCM de los números es − 145 y − 45 es igual 1 305 .

Respuesta: MCM (− 145, − 45) = 1.305.

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El tema “Múltiplos” se estudia en quinto grado. Escuela secundaria. Su objetivo es mejorar las habilidades de cálculo matemático oral y escrito. En esta lección, se introducen nuevos conceptos: se practican "números múltiples" y "divisores", la técnica de encontrar divisores y múltiplos de un número natural y la capacidad de encontrar MCM de varias maneras.

Este tema es muy importante. Su conocimiento se puede aplicar al resolver ejemplos con fracciones. Para hacer esto necesitas encontrar denominador común calculando el mínimo común múltiplo (MCM).

Un múltiplo de A es un número entero que es divisible por A sin resto.

Todo número natural tiene un número infinito de múltiplos de él. En sí mismo se considera el más pequeño. El múltiplo no puede ser menor que el número mismo.

Debes demostrar que el número 125 es múltiplo del número 5. Para hacer esto, debes dividir el primer número por el segundo. Si 125 es divisible por 5 sin resto, entonces la respuesta es sí.

Este método es aplicable para números pequeños.

Existen casos especiales al calcular el LOC.

1. Si necesitas encontrar un múltiplo común de 2 números (por ejemplo, 80 y 20), donde uno de ellos (80) es divisible por el otro (20), entonces este número (80) es el menor múltiplo de estos. dos números.

MCM(80, 20) = 80.

2. Si dos no tienen un divisor común, entonces podemos decir que su MCM es el producto de estos dos números.

MCM(6, 7) = 42.

Veamos el último ejemplo. 6 y 7 con relación a 42 son divisores. Dividen un múltiplo de un número sin resto.

En este ejemplo, 6 y 7 son factores emparejados. Su producto es igual al número más múltiplo (42).

Un número se llama primo si es divisible sólo por sí mismo o por 1 (3:1=3; 3:3=1). El resto se llama compuesto.

Otro ejemplo consiste en determinar si 9 es divisor de 42.

42:9=4 (resto 6)

Respuesta: 9 no es divisor de 42 porque la respuesta tiene resto.

Un divisor se diferencia de un múltiplo en que el divisor es el número que se divide por números naturales, y el múltiplo es a su vez divisible por este número.

Máximo común divisor de números a Y b, multiplicado por su mínimo múltiplo, dará el producto de los números mismos a Y b.

A saber: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.

Los múltiplos comunes de números más complejos se encuentran de la siguiente manera.

Por ejemplo, encuentre el MCM para 168, 180, 3024.

Factorizamos estos números en factores primos y los escribimos como producto de potencias:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

MCM(168, 180, 3024) = 15120.

El mayor número natural por el cual se dividen los números a y b sin resto se llama máximo común divisor estos números. Denota MCD(a, b).

Consideremos encontrar MCD usando el ejemplo de dos números naturales 18 y 60:

324 , 111 Y 432

Factoricemos los números en factores primos:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Tachando del primer número cuyos factores no están en el segundo y tercer número, obtenemos:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Como resultado, MCD( 324 , 111 , 432 )=3

Encontrar GCD usando el algoritmo euclidiano

La segunda forma de encontrar el máximo común divisor es usando algoritmo euclidiano. El algoritmo de Euclides es el más de manera eficiente descubrimiento MCD, al usarlo necesitas encontrar constantemente el resto de los números divisorios y aplicar fórmula de recurrencia.

Fórmula de recurrencia para GCD, MCD(a, b)=MCD(b, a mod b), donde a mod b es el resto de a dividido por b.

algoritmo de euclides

Ejemplo Encuentra el máximo común divisor de números. 7920 Y 594

Encontremos MCD( 7920 , 594 ) usando el algoritmo euclidiano, calcularemos el resto de la división usando una calculadora.

• 7920 módulo 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 módulo 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Como resultado, obtenemos MCD( 7920 , 594 ) = 198

Mínimo común múltiplo

Encontrar el denominador común al sumar y restar fracciones con diferentes denominadores necesitas saber y poder calcular mínimo común múltiplo(NO ACEPTAR).

Un múltiplo del número "a" es un número que a su vez es divisible por el número "a" sin resto.

Números que son múltiplos de 8 (es decir, estos números son divisibles por 8 sin resto): estos son los números 16, 24, 32...

Múltiplos de 9: 18, 27, 36, 45…

Hay infinitos múltiplos de un número dado a, a diferencia de los divisores del mismo número. Hay un número finito de divisores.

El múltiplo común de dos números naturales es un número que es divisible por ambos números..

Mínimo común múltiplo(MCM) de dos o más números naturales es el número natural más pequeño que es a su vez divisible por cada uno de estos números.

Cómo encontrar NOC

LCM se puede encontrar y escribir de dos maneras.

La primera forma de encontrar el LOC.

Este método se suele utilizar para números pequeños.

1. Anotamos en una línea los múltiplos de cada número hasta encontrar un múltiplo que sea igual para ambos números.
2. El múltiplo del número “a” se denota con la letra mayúscula “K”.

Ejemplo. Encuentre MCM 6 y 8.

La segunda forma de encontrar el LOC.

Este método es conveniente para encontrar el MCM de tres o más números.

El número de factores idénticos en la descomposición de números puede ser diferente.

También puedes formalizar la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM) de la siguiente manera. Encontremos el LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Como vemos en la descomposición de números, todos los factores de 12 están incluidos en la descomposición de 24 (el mayor de los números), por lo que sumamos solo un 2 de la descomposición del número 16 al MCM.

MCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Respuesta: MCM (12, 16, 24) = 48

Casos especiales de encontrar una NPL

Por ejemplo, MCM (60, 15) = 60
Como los números coprimos no tienen factores primos comunes, su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos números.

En nuestro sitio web también puedes utilizar una calculadora especial para encontrar el mínimo común múltiplo en línea para comprobar tus cálculos.

Si un número natural es divisible sólo por 1 y por sí mismo, se llama primo.

Cualquier número natural siempre es divisible por 1 y por sí mismo.

El número 2 es el número primo más pequeño. Este es el único número primo par, el resto de números primos son impares.

Hay muchos números primos y el primero de ellos es el número 2. Sin embargo, no existe un último número primo. En la sección “Para Estudio” puedes descargar la tabla numeros primos hasta 997.

Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.

• el número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
• El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de un número.

El divisor de un número natural a es un número natural que divide al número dado “a” sin resto.

Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto.

Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12.

El divisor común de dos números dados “a” y “b” es el número por el cual se dividen ambos números dados “a” y “b” sin resto.

máximo común divisor(MCD) de dos números dados “a” y “b” es el número más grande por el cual ambos números “a” y “b” son divisibles sin resto.

Brevemente, el máximo común divisor de los números “a” y “b” se escribe de la siguiente manera::

Ejemplo: mcd (12; 36) = 12.

Los divisores de números en la notación de solución se indican con la letra mayúscula "D".

Los números 7 y 9 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman números coprimos.

números coprimos- Estos son números naturales que tienen un solo divisor común: el número 1. Su mcd es 1.

Cómo encontrar el máximo común divisor

Para encontrar el mcd de dos o más números naturales necesitas:

• descomponer los divisores de números en factores primos;

Es conveniente escribir cálculos utilizando una barra vertical. A la izquierda de la línea primero escribimos el dividendo, a la derecha, el divisor. A continuación, en la columna de la izquierda anotamos los valores de los cocientes.

Expliquemoslo de inmediato con un ejemplo. Factoricemos los números 28 y 64 en factores primos.

Destacamos los mismos factores primos en ambos números.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Encuentra el producto de factores primos idénticos y escribe la respuesta;
MCD (28; 64) = 2 2 = 4

Respuesta: MCD (28; 64) = 4

Puede formalizar la ubicación del GCD de dos maneras: en una columna (como se hizo arriba) o "en una fila".

La primera forma de escribir gcd

Calcula mcd 48 y 36.

MCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

La segunda forma de escribir gcd.

Ahora escribamos la solución a la búsqueda de GCD en una línea. Calcula mcd 10 y 15.

En nuestro sitio de información también puede utilizar la ayuda en línea del máximo común divisor para comprobar sus cálculos.

Encontrar el mínimo común múltiplo, métodos, ejemplos de encontrar el MCM.

El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo titulado MCM: mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, conexión entre LCM y MCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), Y atención especial Centrémonos en resolver ejemplos. Primero, mostraremos cómo se calcula el MCM de dos números utilizando el MCD de estos números. A continuación, veremos cómo encontrar el mínimo común múltiplo factorizando números en factores primos. Después de esto, nos centraremos en encontrar el MCM de tres o más números y también prestaremos atención a calcular el MCM de números negativos.

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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD

Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. Conexión existente entre MCM y MCD le permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos utilizando un máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente es MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Veamos ejemplos de cómo encontrar el MCM usando la fórmula dada.

Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.

En este ejemplo a=126, b=70. Usemos la conexión entre LCM y MCD, expresada por la fórmula LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números usando la fórmula escrita.

Encontremos MCD(126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, por lo tanto, MCD(126, 70)=14.

Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCM(126, 70)=126·70:MCD(126, 70)= 126·70:14=630.

¿A qué es igual MCM(68, 34)?

Como 68 es divisible por 34, entonces MCD(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCM(68, 34)=68·34:MCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para números enteros positivos a y b: si a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.

Encontrar el MCM factorizando números en factores primos

Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si compones un producto de todos los factores primos de números dados y luego excluyes de este producto todos los factores primos comunes presentes en las expansiones de los números dados, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números dados. .

La regla establecida para encontrar el MCM se deriva de la igualdad LCM(a, b)=a·b:MCD(a, b) . De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en la expansión de los números a y b. A su vez, MCD(a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (como se describe en la sección sobre cómo encontrar el MCD usando la expansión de números en factores primos).

Pongamos un ejemplo. Sepamos que 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. Compongamos el producto a partir de todos los factores de estas expansiones: 2·3·3·5·5·5·7 . Ahora de este producto excluimos todos los factores presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (estos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2·3·5·5·7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de los números 75 y 210, es decir, MCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Factoriza los números 441 y 700 en factores primos y encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.

Factoricemos los números 441 y 700 en factores primos:

Obtenemos 441=3·3·7·7 y 700=2·2·5·5·7.

Ahora compongamos un producto de todos los factores involucrados en la expansión de estos números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay uno de esos factores: este es el número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Por lo tanto, MCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

NOC(441, 700)= 44 100 .

La regla para encontrar el MCM mediante la factorización de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si los factores que faltan en la expansión del número b se suman a los factores de la expansión del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b.

Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son las siguientes: 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. A los factores 3, 5 y 5 del desarrollo del número 75 le sumamos los factores que faltan 2 y 7 del desarrollo del número 210, obtenemos el producto 2·3·5·5·7, cuyo valor es igual a MCM(75, 210).

Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.

Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2·2·3·7 y 648=2·2·2·3·3·3·3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84 le sumamos los factores faltantes 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7, que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4536.

Encontrar el MCM de tres o más números

El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando secuencialmente el MCM de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que proporciona una forma de encontrar el MCM de tres o más números.

Sean números enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra calculando secuencialmente m 2 = MCM(a 1 , a 2), m 3 = MCM(m 2 , a 3) , … , m k = MCM(m k−1 , a k) .

Consideremos la aplicación de este teorema usando el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.

Encuentra el MCM de cuatro números 140, 9, 54 y 250.

Primero encontramos m 2 = MCM(a 1 , a 2) = MCM(140, 9) . Para ello, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos MCD(140, 9), tenemos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, por lo tanto, MCD(140, 9)=1, de donde MCM(140, 9)=140·9: MCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Es decir, m 2 = 1 260.

Ahora encontramos m 3 = MCM(m 2 , a 3) = MCM(1 260, 54). Calculémoslo mediante MCD(1 260, 54), que también determinamos mediante el algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Entonces mcd(1,260, 54)=18, de donde mcd(1,260, 54)= 1,260·54:mcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Es decir, m 3 = 3 780.

Queda por encontrar m 4 = MCM(m 3 , a 4) = MCM(3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3,780, 250) usando el algoritmo euclidiano: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Por lo tanto, MCD(3.780, 250)=10, de donde MCD(3.780, 250)= 3.780·250: MCD(3.780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Es decir, m4 = 94.500.

Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.

MCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando factorizaciones primas de los números dados. En este caso, debes cumplir con la siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, el cual se compone de la siguiente manera: los factores que faltan del desarrollo del segundo número se suman a todos los factores del desarrollo del primer número, los factores que faltan del desarrollo del el tercer número se suma a los factores resultantes, y así sucesivamente.

Veamos un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando factorización prima.

Encuentra el mínimo común múltiplo de los cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Primero, obtenemos descomposiciones de estos números en factores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143=11·13.

Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debes sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. A continuación, a los factores 2, 2, 3 y 7 sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No será necesario agregar multiplicadores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores que faltan 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2·2·2·2·3·7·11·13, que es igual a 48.048.

Por lo tanto, MCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

MCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

Encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos

A veces hay tareas en las que es necesario encontrar el mínimo común múltiplo de números, entre los cuales uno, varios o todos los números son negativos. En estos casos todo números negativos debes reemplazarlos con sus números opuestos y luego encontrar el MCM de los números positivos. Esta es la forma de encontrar el MCM de números negativos. Por ejemplo, MCM(54, −34) = MCM(54, 34) y MCM(−622, −46, −54, −888) = MCM(622, 46, 54, 888).

Podemos hacer esto porque el conjunto de múltiplos de a es el mismo que el conjunto de múltiplos de −a (a y −a son números opuestos). De hecho, sea b un múltiplo de a, entonces b es divisible por a, y el concepto de divisibilidad establece la existencia de un número entero q tal que b=a·q. Pero también será cierta la igualdad b=(−a)·(−q), que por el mismo concepto de divisibilidad significa que b es divisible por −a, es decir, b es múltiplo de −a. Lo contrario también es cierto: si b es algún múltiplo de −a, entonces b también es múltiplo de a.

Encuentra el mínimo común múltiplo de números negativos −145 y −45.

Reemplacemos los números negativos −145 y −45 con sus números opuestos 145 y 45. Tenemos MCM(−145, −45) = MCM(145, 45) . Habiendo determinado MCD(145, 45)=5 (por ejemplo, usando el algoritmo euclidiano), calculamos MCD(145, 45)=145·45:MCD(145, 45)= 145·45:5=1 305. Por tanto, el mínimo común múltiplo de los números enteros negativos −145 y −45 es 1.305.

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Seguimos estudiando la división. En esta lección veremos conceptos como MCD Y CON.

MCD es el máximo común divisor.

CON es el mínimo común múltiplo.

El tema es bastante aburrido, pero definitivamente debes entenderlo. Sin comprender este tema, no podrás trabajar eficazmente con fracciones, que son un verdadero obstáculo en matemáticas.

máximo común divisor

Definición. Máximo común divisor de números a Y b a Y b dividido sin resto.

Para entender bien esta definición, sustituyamos las variables a Y b dos números cualesquiera, por ejemplo, en lugar de una variable a Sustituyamos el número 12, y en lugar de la variable b número 9. Ahora intentemos leer esta definición:

Máximo común divisor de números 12 Y 9 se llama el número más grande por el cual 12 Y 9 dividido sin resto.

De la definición se desprende claramente que estamos hablando del divisor común de los números 12 y 9, y este divisor es el mayor de todos los divisores existentes. Es necesario encontrar este máximo común divisor (MCD).

Para encontrar el máximo común divisor de dos números, se utilizan tres métodos. El primer método requiere bastante mano de obra, pero le permite comprender claramente la esencia del tema y sentir todo su significado.

El segundo y tercer método son bastante simples y permiten encontrar rápidamente un GCD. Analizaremos los tres métodos. Y usted elige cuál utilizar en la práctica.

El primer método consiste en encontrar todos los divisores posibles de dos números y elegir el mayor. Veamos este método usando el siguiente ejemplo: encontrar el máximo común divisor de los números 12 y 9.

Primero, encontraremos todos los divisores posibles del número 12. Para hacer esto, dividiremos 12 entre todos los divisores en el rango de 1 a 12. Si el divisor nos permite dividir 12 sin resto, entonces lo resaltaremos en azul y haga una explicación apropiada entre paréntesis.

12: 1 = 12
(12 se divide por 1 sin resto, lo que significa que 1 es divisor del número 12)

12: 2 = 6
(12 se divide por 2 sin resto, lo que significa que 2 es divisor del número 12)

12: 3 = 4
(12 se divide por 3 sin resto, lo que significa que 3 es divisor del número 12)

12: 4 = 3
(12 se divide entre 4 sin resto, lo que significa que 4 es divisor del número 12)

12: 5 = 2 (sobran 2)
(12 no se divide por 5 sin resto, lo que significa que 5 no es divisor del número 12)

12: 6 = 2
(12 se divide por 6 sin resto, lo que significa que 6 es divisor del número 12)

12: 7 = 1 (5 sobrantes)
(12 no se divide por 7 sin resto, lo que significa que 7 no es divisor del número 12)

12: 8 = 1 (4 sobrantes)
(12 no se divide por 8 sin resto, lo que significa que 8 no es divisor del número 12)

12: 9 = 1 (3 sobrantes)
(12 no se divide por 9 sin resto, lo que significa que 9 no es divisor del número 12)

12: 10 = 1 (2 sobrantes)
(12 no se divide por 10 sin resto, lo que significa que 10 no es divisor del número 12)

12: 11 = 1 (1 sobrante)
(12 no se divide por 11 sin resto, lo que significa que 11 no es divisor de 12)

12: 12 = 1
(12 se divide entre 12 sin resto, lo que significa que 12 es divisor del número 12)

Ahora busquemos los divisores del número 9. Para ello, verifica todos los divisores del 1 al 9.

9: 1 = 9
(9 se divide por 1 sin resto, lo que significa que 1 es divisor del número 9)

9: 2 = 4 (1 sobrante)
(9 no se divide por 2 sin resto, lo que significa que 2 no es divisor del número 9)

9: 3 = 3
(9 se divide por 3 sin resto, lo que significa que 3 es divisor del número 9)

9: 4 = 2 (1 sobrante)
(9 no se divide por 4 sin resto, lo que significa que 4 no es divisor del número 9)

9: 5 = 1 (4 sobrantes)
(9 no se divide por 5 sin resto, lo que significa que 5 no es divisor del número 9)

9: 6 = 1 (3 sobrantes)
(9 no se divide por 6 sin resto, lo que significa que 6 no es divisor del número 9)

9: 7 = 1 (2 sobrantes)
(9 no se divide por 7 sin resto, lo que significa que 7 no es divisor del número 9)

9: 8 = 1 (1 sobrante)
(9 no se divide por 8 sin resto, lo que significa que 8 no es divisor del número 9)

9: 9 = 1
(9 se divide entre 9 sin resto, lo que significa que 9 es divisor del número 9)

Ahora anotemos los divisores de ambos números. Los números resaltados en azul son divisores. Anotémoslos:

Al escribir los divisores, puede determinar inmediatamente cuál es el más grande y el más común.

Por definición, el máximo común divisor de los números 12 y 9 es el número que divide a 12 y 9 sin resto. El mayor y común divisor de los números 12 y 9 es el número 3.

Tanto el número 12 como el número 9 son divisibles por 3 sin resto:

Entonces mcd (12 y 9) = 3

La segunda forma de encontrar GCD

Ahora veamos el segundo método para encontrar el máximo común divisor. La esencia de este método es descomponer ambos números en factores primos y multiplicar los comunes.

Ejemplo 1. Encuentra el mcd de los números 24 y 18

Primero, factoricemos ambos números en factores primos:

Ahora multipliquemos sus factores comunes. Para evitar confusiones, se pueden enfatizar los factores comunes.

Observamos el desarrollo del número 24. Su primer factor es 2. Buscamos el mismo factor en el desarrollo del número 18 y vemos que está ahí también. Destacamos ambos dos:

Volvemos a mirar el desarrollo del número 24. Su segundo factor también es 2. Buscamos el mismo factor en el desarrollo del número 18 y vemos que por segunda vez ya no está. Entonces no enfatizamos nada.

Los dos siguientes en la expansión del número 24 también están ausentes en la expansión del número 18.

Pasemos al último factor en el desarrollo del número 24. Este es el factor 3. Buscamos el mismo factor en el desarrollo del número 18 y vemos que también está ahí. Destacamos ambos tres:

Entonces, los factores comunes de los números 24 y 18 son los factores 2 y 3. Para obtener MCD, estos factores deben multiplicarse:

Entonces mcd (24 y 18) = 6

La tercera forma de encontrar GCD

Ahora veamos la tercera forma de encontrar el máximo común divisor. La esencia de este método es que los números que se encuentran para el máximo común divisor se descomponen en factores primos. Luego, de la expansión del primer número se tachan los factores que no están incluidos en la expansión del segundo número. Los números restantes de la primera expansión se multiplican y se obtiene MCD.

Por ejemplo, encontremos MCD para los números 28 y 16 usando este método. En primer lugar, descomponemos estos números en factores primos:

Obtuvimos dos expansiones: y

Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La ampliación del segundo número no incluye siete. Tachémoslo de la primera expansión:

Ahora multiplicamos los factores restantes y obtenemos MCD:

El número 4 es el máximo común divisor de los números 28 y 16. Ambos números son divisibles por 4 sin resto:

Ejemplo 2. Encuentra el mcd de los números 100 y 40

Factorizando el número 100

Factorizando el número 40

Tenemos dos expansiones:

Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La expansión del segundo número no incluye un cinco (solo hay un cinco). Tachémoslo de la primera expansión.

Multipliquemos los números restantes:

Recibimos la respuesta 20. Esto significa que el número 20 es el máximo común divisor de los números 100 y 40. Estos dos números son divisibles por 20 sin resto:

MCD (100 y 40) = 20.

Ejemplo 3. Encuentra el mcd de los números 72 y 128

Factorizando el número 72

Factorizando el número 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La expansión del segundo número no incluye dos trillizos (no están allí en absoluto). Tachémoslos de la primera expansión:

Recibimos la respuesta 8. Esto significa que el número 8 es el máximo común divisor de los números 72 y 128. Estos dos números son divisibles por 8 sin resto:

MCD (72 y 128) = 8

Encontrar MCD para varios números

El máximo común divisor se puede encontrar para varios números, no solo para dos. Para hacer esto, los números que se deben encontrar para el máximo común divisor se descomponen en factores primos y luego se calcula el producto de los factores primos comunes de estos números.

Por ejemplo, encontremos MCD para los números 18, 24 y 36.

Factoricemos el número 18.

Factoricemos el número 24.

Factoricemos el número 36

Tenemos tres expansiones:

Ahora resaltemos y subrayemos los factores comunes en estos números. Los factores comunes deben aparecer en los tres números:

Vemos que los factores comunes de los números 18, 24 y 36 son los factores 2 y 3. Multiplicando estos factores obtenemos el mcd que buscamos:

Recibimos la respuesta 6. Esto significa que el número 6 es el máximo común divisor de los números 18, 24 y 36. Estos tres números son divisibles por 6 sin resto:

MCD (18, 24 y 36) = 6

Ejemplo 2. Encuentra MCD para los números 12, 24, 36 y 42

Factoricemos cada número en factores primos. Luego encontramos el producto de los factores comunes de estos números.

Factoriza el número 12

Factoricemos el número 42.

Tenemos cuatro expansiones:

Ahora resaltemos y subrayemos los factores comunes en estos números. Los factores comunes deben aparecer en los cuatro números:

Vemos que los factores comunes de los números 12, 24, 36 y 42 son los factores de 2 y 3. Multiplicar estos factores nos da el mcd que estamos buscando:

Recibimos la respuesta 6. Esto significa que el número 6 es el máximo común divisor de los números 12, 24, 36 y 42. Estos números son divisibles por 6 sin resto:

MCD (12, 24, 36 y 42) = 6

De la lección anterior sabemos que si un número se divide por otro sin resto, se llama múltiplo de este número.

Resulta que varios números pueden tener un múltiplo común. Y ahora nos interesará el múltiplo de dos números, y debería ser lo más pequeño posible.

Definición. Mínimo común múltiplo (MCM) de números a Y b- a Y b a y numero b.

La definición contiene dos variables. a Y b. Sustituyamos dos números cualesquiera en lugar de estas variables. Por ejemplo, en lugar de una variable a Sustituyamos el número 9, y en lugar de la variable b Sustituyamos el número 12. Ahora intentemos leer la definición:

Mínimo común múltiplo (MCM) de números 9 Y 12 - Este número más pequeño, que es un múltiplo 9 Y 12 . En otras palabras, este es un número tan pequeño que es divisible sin resto por el número 9 y por numero 12 .

De la definición queda claro que el MCM es el número más pequeño que es divisible entre 9 y 12 sin resto. Es necesario encontrar este MCM.

Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), puedes utilizar dos métodos. La primera forma es escribir los primeros múltiplos de dos números y luego elegir entre estos múltiplos un número que sea común a ambos números y pequeño. Usemos este método.

En primer lugar, encontremos los primeros múltiplos del número 9. Para encontrar los múltiplos de 9, debes multiplicar este nueve uno por uno por los números del 1 al 9. Las respuestas resultantes serán múltiplos del número 9. Entonces, comencemos. Destacaremos los múltiplos en rojo:

Ahora encontramos los múltiplos del número 12. Para ello, multiplicamos el 12 uno a uno por todos los números del 1 al 12.

Veamos tres formas de encontrar el mínimo común múltiplo.

Hallar por factorización

El primer método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo factorizando los números dados en factores primos.

Digamos que necesitamos encontrar el MCM de los números: 99, 30 y 28. Para hacer esto, factoricemos cada uno de estos números en factores primos:

Para que el número deseado sea divisible entre 99, 30 y 28, es necesario y suficiente que incluya todos los factores primos de estos divisores. Para hacer esto, necesitamos llevar todos los factores primos de estos números a la mayor potencia posible y multiplicarlos entre sí:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Por lo tanto, MCM (99, 30, 28) = 13,860 ningún otro número menor que 13,860 es divisible por 99, 30 o 28.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de números dados, los factorizas en sus factores primos, luego tomas cada factor primo con el exponente más grande en el que aparece y multiplicas esos factores.

Como los números primos relativos no tienen factores primos comunes, su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos números. Por ejemplo, tres números: 20, 49 y 33 son primos relativos. Es por eso

MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Se debe hacer lo mismo al encontrar el mínimo común múltiplo de varios números primos. Por ejemplo, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Encontrar por selección

El segundo método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo mediante selección.

Ejemplo 1. Cuando el mayor de los números dados se divide por otro número dado, entonces el MCM de estos números es igual al mayor de ellos. Por ejemplo, dados cuatro números: 60, 30, 10 y 6. Cada uno de ellos es divisible por 60, por lo tanto:

MCM(60, 30, 10, 6) = 60

En otros casos, para encontrar el mínimo común múltiplo se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Determina el número más grande de los números dados.
2. A continuación encontramos los números que son múltiplos de el numero mas grande, multiplicándolo por números naturales en orden creciente y comprobando si el producto resultante es divisible por los números restantes dados.

Ejemplo 2. Dados tres números 24, 3 y 18. Determinamos el mayor de ellos: este es el número 24. A continuación, encontramos los números que son múltiplos de 24, verificando si cada uno de ellos es divisible por 18 y 3:

24 · 1 = 24 - divisible por 3, pero no divisible por 18.

24 · 2 = 48 - divisible por 3, pero no divisible por 18.

24 · 3 = 72 - divisible por 3 y 18.

Por tanto, MCM (24, 3, 18) = 72.

Encontrar encontrando secuencialmente el MCM

El tercer método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo encontrando secuencialmente el MCM.

El MCM de dos números dados es igual al producto de estos números dividido por su máximo común divisor.

Ejemplo 1. Encuentra el MCM de dos números dados: 12 y 8. Determina su máximo común divisor: MCD (12, 8) = 4. Multiplica estos números:

Dividimos el producto por su mcd:

Por tanto, MCM (12, 8) = 24.

Para encontrar el MCM de tres o más números, utilice el siguiente procedimiento:

1. Primero, encuentre el MCM de dos de estos números.
2. Luego, el MCM del mínimo común múltiplo encontrado y el tercero numero dado.
3. Luego, el MCM del mínimo común múltiplo resultante y el cuarto número, etc.
4. Por tanto, la búsqueda de LCM continúa mientras haya números.

Ejemplo 2. Encontremos el MCM de tres números dados: 12, 8 y 9. Ya encontramos el MCM de los números 12 y 8 en el ejemplo anterior (este es el número 24). Queda por encontrar el mínimo común múltiplo del número 24 y el tercer número dado: 9. Determinar su máximo común divisor: MCD (24, 9) = 3. Multiplicar el MCM por el número 9:

Dividimos el producto por su mcd:

Por tanto, MCM (12, 8, 9) = 72.