Prisma con base. Área de la base del prisma: de triangular a poligonal
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Poliedros
El principal objeto de estudio de la estereometría son los cuerpos espaciales. Cuerpo representa una parte del espacio limitada por una determinada superficie.
Poliedro es un cuerpo cuya superficie está formada por un número finito de polígonos planos. Un poliedro se llama convexo si está ubicado a un lado del plano de cada polígono plano en su superficie. La parte común de dicho plano y la superficie de un poliedro se llama borde. Las caras de un poliedro convexo son polígonos convexos planos. Los lados de las caras se llaman bordes del poliedro, y los vértices son vértices del poliedro.
Por ejemplo, un cubo consta de seis cuadrados, que son sus caras. Contiene 12 aristas (los lados de los cuadrados) y 8 vértices (las partes superiores de los cuadrados).
Los poliedros más simples son los prismas y las pirámides, que estudiaremos más a fondo.
Prisma
Definición y propiedades de un prisma.
Prisma es un poliedro que consta de dos polígonos planos que se encuentran en planos paralelos combinados por traslación paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos polígonos. Los polígonos se llaman bases de prisma, y los segmentos que conectan los vértices correspondientes de los polígonos son bordes laterales del prisma.
altura del prisma se llama distancia entre los planos de sus bases (). El segmento que une dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara se llama prisma diagonal(). El prisma se llama n-carbono, si su base contiene un n-gon.
Cualquier prisma tiene las siguientes propiedades, resultantes del hecho de que las bases del prisma se combinan mediante traslación paralela:
1. Las bases del prisma son iguales.
2. Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.
La superficie del prisma consta de bases y superficie lateral. La superficie lateral del prisma consta de paralelogramos (esto se desprende de las propiedades del prisma). El área de la superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales.
Prisma recto
El prisma se llama directo, si sus bordes laterales son perpendiculares a las bases. De lo contrario el prisma se llama inclinado.
Las caras de un prisma recto son rectángulos. La altura de un prisma recto es igual a sus caras laterales.
Superficie de prisma completa se llama suma del área de la superficie lateral y las áreas de las bases.
Con el prisma correcto llamado prisma recto con polígono regular en la base.
Teorema 13.1. El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro por la altura del prisma (o, lo que es lo mismo, por el borde lateral).
Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos, cuyas bases son los lados de los polígonos en las bases del prisma y las alturas son los bordes laterales del prisma. Entonces, por definición, el área de la superficie lateral es:
,
¿Dónde está el perímetro de la base de un prisma recto?
Paralelepípedo
Si en las bases de un prisma hay paralelogramos, entonces se llama paralelepípedo. Todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. En este caso, las caras opuestas del paralelepípedo son paralelas e iguales.
Teorema 13.2. Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en un punto y se dividen por la mitad por el punto de intersección.
Prueba. Consideremos dos diagonales arbitrarias, por ejemplo, y . Porque las caras de un paralelepípedo son paralelogramos, entonces y , lo que significa según To hay dos rectas paralelas a la tercera. Además, esto significa que las líneas rectas y se encuentran en el mismo plano (plano). Este plano intersecta planos paralelos y a lo largo de rectas paralelas y . Así, un cuadrilátero es un paralelogramo, y por la propiedad del paralelogramo, sus diagonales se cortan y se dividen por la mitad por el punto de intersección, que era lo que había que demostrar.
Un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo se llama paralelepípedo rectangular. Todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos. Las longitudes de los bordes no paralelos de un paralelepípedo rectangular se denominan dimensiones lineales (dimensiones). Hay tres tamaños de este tipo (ancho, alto, largo).
Teorema 13.3. En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de cualquier diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. 
(probado aplicando la T de Pitágoras dos veces).
Paralelepípedo rectangular, que tiene todos los lados iguales, se llama cubo.
Tareas
13.1 ¿Cuántas diagonales tiene? norte-prisma de carbono
13.2 En un prisma triangular inclinado, las distancias entre los bordes laterales son 37, 13 y 40. Encuentre la distancia entre el borde lateral mayor y el borde lateral opuesto.
13.3 Se dibuja un plano a través del lado de la base inferior de un prisma triangular regular, cortando las caras laterales a lo largo de segmentos con un ángulo entre ellos. Encuentra el ángulo de inclinación de este plano con respecto a la base del prisma.
Prisma. Paralelepípedo
Prisma es un poliedro cuyas dos caras son n-gonos iguales (bases) , que se encuentran en planos paralelos, y las n caras restantes son paralelogramos (caras laterales) . costilla lateral El lado de un prisma que no pertenece a la base se llama lado del prisma.
Un prisma cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de las bases se llama directo prisma (Fig. 1). Si los bordes laterales no son perpendiculares a los planos de las bases, entonces el prisma se llama inclinado . Correcto Un prisma es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.
Altura prisma es la distancia entre los planos de las bases. Diagonal Un prisma es un segmento que conecta dos vértices que no pertenecen a la misma cara. sección diagonal Se llama sección de un prisma a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara. sección perpendicular la sección transversal de un prisma se llama plano perpendicular a costilla lateral prismas.
Superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Área superficie completa se llama suma de las áreas de todas las caras del prisma (es decir, la suma de las áreas de las caras laterales y las áreas de las bases).
Para un prisma arbitrario las siguientes fórmulas son verdaderas::
Dónde yo– longitud de la nervadura lateral;
h- altura;
PAG
q
lado S
S lleno
base S– área de las bases;
V– volumen del prisma.
Para un prisma recto las siguientes fórmulas son correctas:
Dónde pag– perímetro de la base;
yo– longitud de la nervadura lateral;
h- altura.
paralelepípedo Se llama prisma cuya base es un paralelogramo. Un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a las bases se llama directo (Figura 2). Si los bordes laterales no son perpendiculares a las bases, entonces el paralelepípedo se llama inclinado . Un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo se llama rectangular. Un paralelepípedo rectangular con todas las aristas iguales se llama cubo
Las caras de un paralelepípedo que no tienen vértices comunes se llaman opuesto . Las longitudes de las aristas que emanan de un vértice se llaman medidas paralelepípedo. Dado que un paralelepípedo es un prisma, sus elementos principales se definen de la misma manera que se definen para los prismas.
Teoremas.
1. Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto y lo bisecan.
2. En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de la longitud de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones: 
3. 
Las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí.
Para un paralelepípedo arbitrario son válidas las siguientes fórmulas:
Dónde yo– longitud de la nervadura lateral;
h- altura;
PAG– perímetro de sección perpendicular;
q– Área de sección transversal perpendicular;
lado S– superficie lateral;
S lleno– superficie total;
base S– área de las bases;
V– volumen del prisma.
Para un paralelepípedo recto las siguientes fórmulas son correctas:
Dónde pag– perímetro de la base;
yo– longitud de la nervadura lateral;
h– altura de un paralelepípedo recto.
Para un paralelepípedo rectangular las siguientes fórmulas son correctas:
(3)
Dónde pag– perímetro de la base;
h- altura;
d– diagonal;
abecedario– medidas de un paralelepípedo.
Las siguientes fórmulas son correctas para un cubo:
Dónde a– longitud de las costillas;
d- diagonal del cubo.
Ejemplo 1. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es de 33 dm y sus dimensiones están en la proporción 2: 6: 9. Calcula las dimensiones del paralelepípedo.
Solución. Para encontrar las dimensiones del paralelepípedo utilizamos la fórmula (3), es decir por el hecho de que el cuadrado de la hipotenusa de un cuboide es igual a la suma de los cuadrados de sus dimensiones. Denotemos por k factor de proporcionalidad. Entonces las dimensiones del paralelepípedo serán iguales a 2. k, 6k y 9 k. Escribamos la fórmula (3) para los datos del problema:
Resolviendo esta ecuación para k, obtenemos:
Esto quiere decir que las dimensiones del paralelepípedo son 6 dm, 18 dm y 27 dm.
Respuesta: 6dm, 18dm, 27dm.
Ejemplo 2. Encuentre el volumen de un prisma triangular inclinado, cuya base es un triángulo equilátero con un lado de 8 cm, si el borde lateral es igual al lado de la base y está inclinado en un ángulo de 60º con respecto a la base.
Solución
.
Hagamos un dibujo (Fig. 3).
Para encontrar el volumen de un prisma inclinado, necesitas saber el área de su base y su altura. El área de la base de este prisma es el área de un triángulo equilátero de 8 cm de lado Calculémoslo:
La altura de un prisma es la distancia entre sus bases. desde lo alto A 1 de la base superior, baje la perpendicular al plano de la base inferior A 1 D. Su longitud será la altura del prisma. Considere D A 1 ANUNCIO: ya que este es el ángulo de inclinación del borde lateral A 1 A al plano base, A 1 A= 8 cm. De este triángulo encontramos. A 1 D:
Ahora calculamos el volumen usando la fórmula (1):
Respuesta: 192cm3.
Ejemplo 3. El borde lateral de un prisma hexagonal regular mide 14 cm y el área de la sección diagonal más grande es 168 cm 2. Encuentra el área de superficie total del prisma.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig.4)
La sección diagonal más grande es un rectángulo. AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. 1 DD 1 desde diagonal ANUNCIO hexágono regular ABCDEF es el más grande. Para calcular el área de la superficie lateral del prisma, es necesario conocer el lado de la base y la longitud del borde lateral.
Conociendo el área de la sección diagonal (rectángulo), encontramos la diagonal de la base.
Desde entonces 
Desde entonces AB= 6 cm.
Entonces el perímetro de la base es:
Encontremos el área de la superficie lateral del prisma:
El área de un hexágono regular de 6 cm de lado es:
Encuentra el área de superficie total del prisma:
Respuesta: 
Ejemplo 4. La base de un paralelepípedo recto es un rombo. Las áreas de la sección transversal diagonal son 300 cm2 y 875 cm2. Encuentra el área de la superficie lateral del paralelepípedo.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 5).
Denotemos el lado del rombo por A, diagonales de un rombo d 1 y d 2, altura paralelepípedo h. Para encontrar el área de la superficie lateral de un paralelepípedo recto es necesario multiplicar el perímetro de la base por la altura: (fórmula (2)). Perímetro de la base p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, porque ABCD- rombo H =AA 1 = h. Eso. Necesito encontrar A Y h.
consideremos secciones diagonales. Automóvil club británico 1 SS 1 – un rectángulo, uno de cuyos lados es la diagonal de un rombo C.A. = d 1, segundo – borde lateral Automóvil club británico 1 = h, Entonces
Lo mismo para la sección CAMA Y DESAYUNO 1 DD 1 obtenemos:
Usando la propiedad de un paralelogramo tal que la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de todos sus lados, obtenemos la igualdad Obtenemos lo siguiente.
Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base del prisma, necesitarás entender de qué tipo es.
teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen forma de paralelogramo. Además, su base puede ser cualquier poliedro, desde un triángulo hasta un n-gón. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no ocurre con las caras laterales es que pueden variar significativamente de tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede requerir conocimiento de la superficie lateral, es decir, de todas las caras que no son bases. La superficie completa será la unión de todas las caras que forman el prisma.
A veces los problemas tienen que ver con la altura. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que conecta en pares dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
Prisma triangular
Tiene en su base una figura con tres vértices, es decir, un triángulo. Como sabes, puede ser diferente. Si es así, basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
La notación matemática se ve así: S = ½ av.
Para averiguar el área de la base en vista general, las fórmulas serán útiles: Garza y aquella en la que la mitad del lado se lleva a la altura que se le dibuja.
La primera fórmula debe escribirse de la siguiente manera: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Esta notación contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S = ½ n a * a.
Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta ser equilátero. Hay una fórmula para ello: S = ¼ a 2 * √3.
Prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitarás tu propia fórmula.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = ab, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base prisma correcto calculado usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien está en el fundamento. S = un 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S = a * n a. Sucede que se dan el lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, necesitarás usar una fórmula adicional: n a = b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b" y la altura n es opuesta a este ángulo.
Si hay un rombo en la base del prisma, para determinar su área necesitarás la misma fórmula que para un paralelogramo (ya que es un caso especial). Pero también puedes usar esto: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso implica dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de encontrar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.
Como la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono de la base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Sólo hay que multiplicarlo por seis.
La fórmula quedará así: S = 3/2 a 2 * √3.
Tareas
No. 1. Dada una recta regular, su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm Calcula el área de la base del prisma y toda la superficie.
Solución. La base del prisma es un cuadrado, pero se desconoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 = re 2 - norte 2. Por otro lado, este segmento “x” es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 = a 2 + a 2. Por tanto resulta que a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Sustituye el número 22 en lugar de d, y reemplaza “n” con su valor - 14, resulta que el lado del cuadrado mide 12 cm. Ahora solo encuentra el área de la base: 12 * 12 = 144 cm. 2.
Para saber el área de toda la superficie, debes sumar el doble del área de la base y cuadriplicar el área lateral. Este último se puede encontrar fácilmente usando la fórmula de un rectángulo: multiplica la altura del poliedro por el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. Área total La superficie del prisma resulta ser de 960 cm 2.
Respuesta. El área de la base del prisma es 144 cm 2. La superficie total es de 960 cm 2.
No. 2. Dado En la base hay un triángulo con un lado de 6 cm. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.
Solución. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado, multiplicado por ¼ y por la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Ésta es el área de una base del prisma.
Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos con lados de 6 y 10 cm. Para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente esa misma cantidad de caras laterales. Entonces el área de la superficie lateral de la herida resulta ser de 180 cm 2.
Respuesta.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.
Definición. Prisma es un poliedro, todos cuyos vértices están situados en dos planos paralelos, y en estos mismos dos planos se encuentran dos caras del prisma, que son polígono igual y con lados correspondientemente paralelos, y todos los bordes que no se encuentran en estos planos son paralelos.
Dos caras iguales se llaman bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Todas las demás caras del prisma se llaman caras laterales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Todas las caras laterales se forman superficie lateral prismas .
Todas las caras laterales del prisma son paralelogramos. .
Las aristas que no se encuentran en las bases se llaman aristas laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
prisma diagonal es un segmento cuyos extremos son dos vértices de un prisma que no se encuentran en la misma cara (AD 1).
La longitud del segmento que conecta las bases del prisma y perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .
Designación:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Primero, en orden transversal, se indican los vértices de una base, y luego, en el mismo orden, los vértices de otra; los extremos de cada borde lateral se designan con las mismas letras, solo se designan los vértices que se encuentran en una base por letras sin índice, y en el otro - con índice)
El nombre del prisma está asociado con la cantidad de ángulos de la figura que se encuentran en su base, por ejemplo, en la Figura 1 hay un pentágono en la base, por eso el prisma se llama prisma pentagonal. Pero porque tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro(2 caras - las bases del prisma, 5 caras - paralelogramos, - sus caras laterales)
Entre los prismas rectos destaca vista privada: prismas correctos.
Un prisma recto se llama correcto, si sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedo
Paralelepípedo es un prisma cuadrangular, en cuya base se encuentra un paralelogramo (un paralelepípedo inclinado). paralelepípedo derecho- un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de la base.Paralelepípedo rectangular- un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo.
Propiedades y teoremas:
Algunas propiedades de un paralelepípedo son similares a las propiedades conocidas de un paralelogramo. Se llama paralelepípedo rectangular que tiene iguales dimensiones. cubo
.Un cubo tiene todos los cuadrados iguales. El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. 
,
donde d es la diagonal del cuadrado;
a es el lado del cuadrado.
Una idea de prisma viene dada por:
- diversas estructuras arquitectónicas;
- juguetes para niños;
- cajas de embalaje;
- artículos de diseño, etc.
El área de la superficie total y lateral del prisma.
Superficie total del prisma es la suma de las áreas de todas sus caras Superficie lateral se llama suma de las áreas de sus caras laterales. Las bases del prisma son polígonos iguales, luego sus áreas son iguales. Es por esoS completo = lado S + 2S principal,
Dónde S lleno- superficie total, lado S-superficie lateral, base S- área base
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma..
lado S= P básico * h,
Dónde lado S-área de la superficie lateral de un prisma recto,
P principal - perímetro de la base de un prisma recto,
h es la altura del prisma recto, igual al borde lateral.
Volumen del prisma
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
