Fórmula del área seccional de un cono truncado. Volúmenes y superficies de pirámides y conos truncados.

Fórmulas de volumen

Pirámide truncada o cono - esta es la parte que queda después de cortar la parte superior por un plano paralelo a la base.

Volumen de una pirámide truncada o cono igual al volumen de toda la pirámide o cono menos el volumen del vértice cortado.

Superficie lateral de una pirámide truncada o cono igual al área de superficie de toda la pirámide o cono. menos el área de la superficie lateral del vértice cortado. Si necesitas encontrar área total figura truncada, luego se suma el área de las dos bases paralelas al área de la superficie lateral.

Existe otro método para determinar el volumen y el área de superficie de un cono truncado:

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2),

superficie lateral del cono S=πl(R+r),

superficie total S o =π l(R+r)+πr 2 +πR 2

Ejemplo 1. Determinación del área requerida para la fabricación de material para la pantalla. (Cálculo de la superficie lateral del cono).

La pantalla tiene forma de cono truncado. La altura de la pantalla es de 50 cm, los diámetros inferior y superior son de 40 y 20 cm, respectivamente.

Determine, con una precisión de 3 cifras significativas, el área de material necesaria para fabricar la pantalla de la lámpara.

Como se definió anteriormente, el área de la superficie lateral de un cono truncado S=πl(R+r).

Dado que los diámetros superior e inferior del cono truncado son 40 y 20 cm, de la Fig. arriba encontramos r=10 cm, R=20 cm y

l=(50 2 +10 2) 1/2 =50,99 según el teorema de Pitágoras,

Por tanto, el área de la superficie lateral del cono es igual a S=π 50,99(20+10)=4803,258 cm2, es decir. el área de material necesaria para hacer una pantalla de lámpara es igual a 4800cm2 con una precisión de 3 cifras significativas, aunque, por supuesto, la cantidad de material que realmente se utilizará depende del corte.

Ejemplo 2. Determinación del volumen de un cilindro rematado por un cono truncado.

La torre de refrigeración tiene forma de cilindro rematado por un cono truncado, como se muestra en la Fig. abajo. Determine el volumen del espacio aéreo en la torre si el 40% del volumen está ocupado por tuberías y otras estructuras.

Volumen de la parte cilíndrica.

V=π R 2 h=π(27/2) 2 *14=8011,71 m 3

Volumen de un cono truncado

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2), Dónde

h=34-14=20 m, R=27/2=13,5 m y r=14/2=7 m.

Porque R=27/2=13,5 m y r=14/2=7 m.

Por tanto, el volumen de un cono truncado

V=1/3 π 20(13,5 2 +13,5*7+7 2)=6819,03 m 3

Volumen total de la torre de enfriamiento total =6819,03+8011,71=14830,74 m3.

Si se ocupa el 40% del volumen, volumen del espacio aéreo V=0,6*14830,74=8898,44 m 3

Cono. cono truncado

Superficie cónica es la superficie formada por todas las líneas rectas que pasan por cada punto de una curva dada y un punto fuera de la curva (Fig. 32).

Esta curva se llama guía , derecho - formando , punto - arriba superficie cónica.

Superficie cónica circular recta es la superficie formada por todas las rectas que pasan por cada punto de un círculo dado y un punto de una recta que es perpendicular al plano del círculo y pasa por su centro. En lo que sigue llamaremos brevemente a esta superficie superficie cónica (Figura 33).

Cono (directo cono circular ) es un cuerpo geométrico delimitado por una superficie cónica y un plano paralelo al plano del círculo guía (Fig. 34).

Arroz. 32 figura. 33 figura. 34

Un cono puede considerarse como un cuerpo que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de un eje que contiene uno de los catetos del triángulo.

El círculo que encierra un cono se llama base . El vértice de una superficie cónica se llama arriba cono El segmento que une el vértice de un cono con el centro de su base se llama altura cono Los segmentos que forman una superficie cónica se llaman formando cono Eje de un cono es una línea recta que pasa por la parte superior del cono y el centro de su base. sección axial Se llama sección que pasa por el eje del cono. Desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector cuyo radio igual a la longitud generatriz del cono, y la longitud del arco del sector es igual a la circunferencia de la base del cono.

Las fórmulas correctas para un cono son:

Dónde R– radio base;

h- altura;

yo– longitud de la generatriz;

base S– superficie de base;

lado S

S lleno

V– volumen del cono.

Cono truncado Se llama la parte del cono encerrada entre la base y el plano de corte paralelo a la base del cono (Fig. 35).

Un cono truncado puede considerarse como un cuerpo obtenido por rotación. trapezoide rectangular alrededor de un eje que contiene el lado del trapezoide perpendicular a las bases.

Los dos círculos que encierran un cono se llaman razones . Altura de un cono truncado es la distancia entre sus bases. Los segmentos que forman la superficie cónica de un cono truncado se llaman formando . Una línea recta que pasa por los centros de las bases se llama eje cono truncado. sección axial Se llama sección que pasa por el eje de un cono truncado.

Para un cono truncado las fórmulas correctas son:

(8)

Dónde R– radio de la base inferior;

r– radio de la base superior;

h– altura, l – longitud de la generatriz;

lado S– superficie lateral;

S lleno- cuadrado superficie completa;

V– volumen de un cono truncado.

Ejemplo 1. La sección transversal del cono paralela a la base divide la altura en una proporción de 1:3, contando desde el ápice. Calcula el área de la superficie lateral de un cono truncado si el radio de la base y la altura del cono son 9 cm y 12 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 36).

Para calcular el área de la superficie lateral de un cono truncado utilizamos la fórmula (8). Encontremos los radios de las bases. Alrededor de 1 A Y Aproximadamente 1V y formando AB.

Considere triángulos similares SO2B Y Entonces 1A, coeficiente de similitud, entonces

Desde aquí

Desde entonces

El área de la superficie lateral de un cono truncado es igual a:

Respuesta: .

Ejemplo 2. Un cuarto de círculo de radio se dobla formando una superficie cónica. Encuentra el radio de la base y la altura del cono.

Solución. El cuadrante del círculo es el desarrollo de la superficie lateral del cono. denotemos r– radio de su base, H – altura. Calculemos el área de la superficie lateral usando la fórmula: . Es igual al área de un cuarto de círculo: . Obtenemos una ecuación con dos incógnitas. r Y yo(formando un cono). En este caso, la generatriz es igual al radio del cuarto de círculo. R, lo que significa que obtenemos la siguiente ecuación: , de donde Conociendo el radio de la base y el generador, encontramos la altura del cono:

Respuesta: 2 centímetros, .

Ejemplo 3. Un trapezoide rectangular con un ángulo agudo de 45 O, una base menor de 3 cm y un lado inclinado igual a , gira alrededor de un lado perpendicular a las bases. Encuentre el volumen del cuerpo de revolución resultante.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 37).

Como resultado de la rotación obtenemos un cono truncado; para encontrar su volumen calculamos el radio de la base mayor y la altura. en el trapecio O 1 O 2 AB llevaremos a cabo AC^O 1B. B tenemos: esto significa que este triángulo es isósceles C.A.=antes de Cristo=3cm.

Respuesta:

Ejemplo 4. Un triángulo con lados de 13 cm, 37 cm y 40 cm gira alrededor de un eje externo, que es paralelo al lado mayor y ubicado a una distancia de 3 cm de él (el eje está ubicado en el plano del triángulo). Encuentra el área de superficie del cuerpo de revolución resultante.

Solución . Hagamos un dibujo (Fig. 38).

La superficie del cuerpo de revolución resultante está formada por las superficies laterales de dos conos truncados y la superficie lateral de un cilindro. Para calcular estas áreas es necesario conocer los radios de las bases de los conos y del cilindro ( SER Y JEFE.), formando conos ( antes de Cristo Y C.A.) y altura del cilindro ( AB). La única incógnita es CO. esta es la distancia desde el lado del triángulo hasta el eje de rotación. encontraremos corriente continua. El área del triángulo ABC en un lado es igual al producto de la mitad del lado AB por la altura dibujada hacia él. corriente continua, por otro lado, conociendo todos los lados del triángulo, calculamos su área mediante la fórmula de Herón.

es una parte de un cono delimitada entre dos bases paralelas perpendiculares a su eje de simetría Las bases del cono son círculos geométricos.

Se puede obtener un cono truncado girando un trapezoide rectangular alrededor de su lado, que es su altura. El límite del cono es un círculo de radio R, un círculo de radio r y la superficie lateral del cono. La superficie lateral del cono está descrita por el lado lateral del trapezoide durante su rotación.

El área de la superficie lateral de un cono truncado a través de la guía y los radios de sus bases.

Al encontrar la zona superficie lateral Es más apropiado considerar el cono truncado como la diferencia entre la superficie lateral del cono y la superficie lateral del cono cortado.

Deje que el cono A`MB` se corte de un cono AMB dado. Necesidad de calcular zona lateral cono truncado AA`B`B. Se sabe que los radios de sus bases son AO=R, A`O` =r, el generador es igual a L. Denotaremos MB` como x. Entonces la superficie lateral del cono A`MB` será igual a πrx. Y la superficie lateral del cono AMB será igual a πR(L+x).
Entonces la superficie lateral del cono truncado AA`B`B se puede expresar a través de la diferencia entre la superficie lateral del cono AMB y el cono A`MB`:

Los triángulos OMB y O`MB` son similares en términos de igualdad de ángulos ∠(MOB) = ∠(MO`B`) y ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . De la similitud de estos triángulos se deduce:
Usemos la derivada de la proporción. Tenemos:
Desde aquí encontramos x:
Sustituyendo esta expresión en la fórmula del área de la superficie lateral, tenemos:
Así, el área de la superficie lateral de un cono truncado es igual al producto del número π por su guía y la suma de los radios de sus bases.

Un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de un cono truncado si se conocen su radio y generatriz
El radio de la base mayor, del generador y la altura del cono truncado son 7, 5 y 4 cm, respectivamente. Encuentra el área de la superficie lateral del cono.
La sección axial de un cono truncado es trapezoide isósceles, con bases 2R y 2r. La generatriz del cono truncado, que es el lado del trapecio, la altura pubescente sobre la base grande y la diferencia en los radios de la base del cono truncado forman un triángulo egipcio. Este triangulo rectángulo con una relación de aspecto de 3:4:5. Según las condiciones del problema, la generatriz es igual a 5 y la altura es 4, entonces la diferencia en los radios de la base del cono truncado será igual a 3.
Tenemos:
L=5
R=7
R=4
La fórmula para el área de la superficie lateral de un cono truncado es la siguiente:

Sustituyendo los valores tenemos:

Superficie lateral de un cono truncado a través de una guía y radio medio

El radio medio de un cono truncado es igual a la mitad de la suma de los radios de sus bases:


Entonces la fórmula para el área de la superficie lateral de un cono truncado se puede presentar de la siguiente manera:

El área de la superficie lateral de un cono truncado es igual al producto de la circunferencia de la sección media por su generatriz.

El área de la superficie lateral de un cono truncado a través de los radios de su base y el ángulo de inclinación de la generatriz con respecto al plano de la base.

Si la base más pequeña se proyecta ortogonalmente sobre la base más grande, entonces la proyección de la superficie lateral del cono truncado tendrá la forma de un anillo, cuyo área se calcula mediante la fórmula:

Entonces:

Superficie lateral de un cono truncado según Arquímedes

El área de la superficie lateral de un cono truncado es igual al área de un círculo cuyo radio es el promedio proporcional entre la generatriz y la suma de los radios de sus bases

Superficie completa de un cono truncado

La superficie total de un cono es la suma del área de su superficie lateral y el área de las bases del cono:

Las bases del cono son círculos con radios R y r. Su área es igual al producto del número por el cuadrado de su radio:


El área de la superficie lateral se calcula mediante la fórmula:

Entonces la superficie total del cono truncado es:

La fórmula se ve así:

Un ejemplo de cálculo de la superficie total de un cono truncado si se conocen su radio y generatriz
El radio de la base del cono truncado es de 1 y 7 dm, y las diagonales de la sección axial son mutuamente perpendiculares. Encuentra el área área completa cono truncado
La sección axial del cono truncado es un trapecio isósceles, con bases 2R y 2r. Es decir, las bases del trapezoide miden 2 y 14 dm, respectivamente. Como las diagonales de un trapezoide son perpendiculares entre sí, la altura es igual a la mitad de la suma de sus bases. Entonces:

La generatriz del cono truncado, que es el lado del trapezoide, la altura pubescente sobre la base grande y la diferencia en los radios de la base del cono truncado forman un triángulo rectángulo.
Usando el teorema de Pitágoras encontramos la generatriz de un cono truncado:

La fórmula para la superficie total de un cono truncado es la siguiente:

Sustituyendo los valores de las condiciones del problema y los valores encontrados, tenemos: