Factorizar un polinomio a través de un discriminante. Cómo factorizar un trinomio cuadrático

Encontremos la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática. Usando las fórmulas (59.8) para las raíces de la ecuación anterior, obtenemos

(la primera igualdad es obvia, la segunda se obtiene tras un simple cálculo, que el lector realizará de forma independiente; conviene utilizar la fórmula para multiplicar la suma de dos números por su diferencia).

Se ha demostrado lo siguiente

Teorema de Vieta. La suma de las raíces de la ecuación cuadrática anterior es igual al segundo coeficiente con signo opuesto y su producto es igual al término libre.

En el caso de una ecuación cuadrática no reducida, se deben sustituir las expresiones de la fórmula (60.1) en las fórmulas (60.1) y tomar la forma

Ejemplo 1. Componga una ecuación cuadrática usando sus raíces:

Solución, a) Encontramos que la ecuación tiene la forma

Ejemplo 2. Encuentra la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación sin resolver la ecuación misma.

Solución. Se conocen la suma y el producto de las raíces. Representemos la suma de raíces cuadradas en la forma

y obtenemos

De las fórmulas de Vieta es fácil obtener la fórmula.

expresando la regla de descomposición trinomio cuadrático por multiplicadores.

De hecho, escribamos las fórmulas (60.2) en la forma

ahora tenemos

que es lo que necesitábamos conseguir.

La derivación anterior de las fórmulas de Vieta le resulta familiar al lector gracias a un curso de álgebra. escuela secundaria. Se puede llegar a otra conclusión utilizando el teorema de Bezout y la factorización del polinomio (párrafos 51, 52).

Sean entonces las raíces de la ecuación regla general(52.2) el trinomio del lado izquierdo de la ecuación se factoriza:

Abriendo los paréntesis en el lado derecho de esta igualdad idéntica, obtenemos

y comparando los coeficientes a las mismas potencias obtendremos la fórmula de Vieta (60.1).

La ventaja de esta derivación es que se puede aplicar a ecuaciones de grados superiores para obtener expresiones de los coeficientes de la ecuación en términos de sus raíces (¡sin encontrar las raíces mismas!). Por ejemplo, si las raíces de la ecuación cúbica dada

la esencia es que según la igualdad (52.2) encontramos

(en nuestro caso, abriendo los paréntesis en el lado derecho de la igualdad y recopilando los coeficientes en diferentes grados, obtenemos

Trinomio cuadrado se llama polinomio de la forma hacha 2 +bx +do, Dónde incógnita– variable, a,b,do– algunos números y un ≠ 0.

Coeficiente A llamado coeficiente senior, do – miembro gratis trinomio cuadrado.

Ejemplos de trinomios cuadráticos:

2 x2 + 5x+4(Aquí a = 2, b = 5, do = 4)

x2 – 7x + 5(Aquí a = 1, b = -7, do = 5)

9x 2 + 9x – 9(Aquí a = 9, b = 9, do = -9)

Coeficiente b o coeficiente do o ambos coeficientes pueden ser iguales a cero al mismo tiempo. Por ejemplo:

5 x2 + 3incógnita(Aquía = 5,segundo = 3,c = 0, por lo que no hay valor para c en la ecuación).

6x 2 – 8 (Aquía = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Aquía = 2, b = 0, c = 0)

El valor de la variable en la que el polinomio desaparece se llama raíz del polinomio.

Para encontrar las raíces de un trinomio cuadrático.hacha 2 + bx + do, necesitamos igualarlo a cero -
es decir, resolver la ecuación cuadráticahacha 2 + bx + c = 0 (ver sección "Ecuación cuadrática").

Factorizar un trinomio cuadrático

Ejemplo:

Factoricemos el trinomio 2 incógnita 2 + 7x – 4.

Vemos: coeficiente A = 2.

Ahora encontremos las raíces del trinomio. Para ello lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación

2incógnita 2 + 7x – 4 = 0.

Cómo resolver una ecuación de este tipo: consulte la sección “Fórmulas de las raíces de una ecuación cuadrática”. Discriminante." Aquí indicaremos inmediatamente el resultado de los cálculos. Nuestro trinomio tiene dos raíces:

x1 = 1/2, x2 = –4.

Sustituyamos los valores de las raíces en nuestra fórmula, sacando de paréntesis el valor del coeficiente A, y obtenemos:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

El resultado obtenido se puede escribir de otra manera multiplicando el coeficiente 2 por el binomio incógnita – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

El problema está resuelto: se factoriza el trinomio.

Esta expansión se puede obtener para cualquier trinomio cuadrático que tenga raíces.

¡ATENCIÓN!

Si el discriminante de un trinomio cuadrático es cero, entonces este trinomio tiene una raíz, pero al descomponer el trinomio, esta raíz se toma como el valor de dos raíces, es decir, como el mismo valor. incógnita 1 yincógnita 2 .

Por ejemplo, un trinomio tiene una raíz igual a 3. Entonces x 1 = 3, x 2 = 3.

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Un trinomio cuadrado es un polinomio de la forma ax^2+bx+c, donde x es una variable, a, byc son algunos números y a no es igual a cero.
En realidad, lo primero que necesitamos saber para factorizar el desafortunado trinomio es el teorema. Se ve así: "Si x1 y x2 son las raíces del trinomio cuadrado ax^2+bx+c, entonces ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)". Por supuesto, hay una prueba de este teorema, pero requiere algunos conocimientos teóricos (cuando sacamos el factor a en el polinomio ax^2+bx+c obtenemos ax^2+bx+c=a(x^2 +(b/a) x + c/a). Según el teorema de Viette, x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, por lo tanto b/a=-(x1+x2), c/. a=x1*x2 , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1). -x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2) Esto significa ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . pero si no es necesario, te aconsejo que simplemente la memorices.

Paso 2

Tomemos como ejemplo el trinomio 3x^2-24x+21. Lo primero que debemos hacer es igualar el trinomio a cero: 3x^2-24x+21=0. Las raíces de la ecuación cuadrática resultante serán las raíces del trinomio, respectivamente.

Paso 3

Resolvamos la ecuación 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Entonces, decidamos. Quien no sabe decidir ecuaciones cuadráticas, mira mis instrucciones con 2 formas de resolverlas usando la misma ecuación como ejemplo. Las raíces resultantes son x1=7, x2=1.

Paso 4

Ahora que tenemos las raíces del trinomio, podemos sustituirlas con seguridad en la fórmula =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
obtenemos: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Puedes deshacerte del término a poniéndolo entre paréntesis: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
como resultado obtenemos: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Nota: cada uno de los factores resultantes ((x-7), (3x-3) son polinomios de primer grado. Eso es todo el desarrollo =) Si dudas de la respuesta recibida, siempre puedes comprobarla multiplicando los paréntesis.

Paso 5

Comprobando la solución. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. ¡Ahora sabemos con seguridad que nuestra decisión es correcta! Espero que mis instrucciones ayuden a alguien =) ¡Buena suerte con tus estudios!

• En nuestro caso, en la ecuación D > 0 y obtuvimos 2 raíces. Si hubiera una D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Si un trinomio cuadrado no tiene raíces, entonces no se puede factorizar, que son polinomios de primer grado.

En esta lección aprenderemos a factorizar trinomios cuadráticos en factores lineales. Para ello, debemos recordar el teorema de Vieta y su recíproco. Esta habilidad nos ayudará a expandir rápida y cómodamente trinomios cuadráticos en factores lineales y también simplificará la reducción de fracciones que consisten en expresiones.

Entonces volvamos a la ecuación cuadrática, donde .

Lo que tenemos en el lado izquierdo se llama trinomio cuadrático.

El teorema es cierto: Si son las raíces de un trinomio cuadrático, entonces la identidad se cumple

¿Dónde está el coeficiente principal? Son las raíces de la ecuación.

Entonces, tenemos una ecuación cuadrática: un trinomio cuadrático, donde las raíces de la ecuación cuadrática también se llaman raíces del trinomio cuadrático. Por tanto, si tenemos las raíces de un trinomio cuadrado, entonces este trinomio se puede descomponer en factores lineales.

Prueba:

La demostración de este hecho se lleva a cabo utilizando el teorema de Vieta, que comentamos en lecciones anteriores.

Recordemos lo que nos dice el teorema de Vieta:

Si son las raíces de un trinomio cuadrático para el cual, entonces.

De este teorema se desprende la siguiente afirmación:

Vemos que, según el teorema de Vieta, es decir, sustituyendo estos valores en la fórmula anterior, obtenemos la siguiente expresión

Q.E.D.

Recuerde que demostramos el teorema de que si son las raíces de un trinomio cuadrado, entonces la expansión es válida.

Ahora recordemos un ejemplo de ecuación cuadrática, a la que seleccionamos raíces usando el teorema de Vieta. De este hecho podemos obtener la siguiente igualdad gracias al teorema demostrado:

Ahora comprobemos la exactitud de este hecho simplemente abriendo los corchetes:

Vemos que factorizamos correctamente, y cualquier trinomio, si tiene raíces, se puede factorizar según este teorema en factores lineales según la fórmula

Sin embargo, comprobemos si dicha factorización es posible para cualquier ecuación:

Tomemos, por ejemplo, la ecuación. Primero, verifiquemos el signo discriminante.

Y recordamos que para cumplir el teorema que aprendimos, D debe ser mayor que 0, por lo que en este caso la factorización según el teorema que aprendimos es imposible.

Por tanto, formulamos un nuevo teorema: si un trinomio cuadrado no tiene raíces, entonces no se puede descomponer en factores lineales.

Entonces, analizamos el teorema de Vieta, la posibilidad de descomponer un trinomio cuadrático en factores lineales, y ahora resolveremos varios problemas.

Tarea número 1

En este grupo realmente resolveremos el problema inverso al planteado. Teníamos una ecuación y encontramos sus raíces factorizándola. Aquí haremos lo contrario. Digamos que tenemos las raíces de una ecuación cuadrática.

El problema inverso es este: escribe una ecuación cuadrática usando sus raíces.

Hay 2 formas de resolver este problema.

Como son las raíces de la ecuación, entonces es una ecuación cuadrática cuyas raíces están dadas por números. Ahora abramos los corchetes y verifiquemos:

Esta fue la primera forma en que creamos una ecuación cuadrática con raíces dadas, que no tiene otras raíces, ya que cualquier ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces.

Este método implica el uso del teorema inverso de Vieta.

Si son las raíces de la ecuación, entonces satisfacen la condición de que .

Para la ecuación cuadrática reducida , , es decir, en este caso, y .

Por tanto, hemos creado una ecuación cuadrática que tiene las raíces dadas.

Tarea número 2

Es necesario reducir la fracción.

Tenemos un trinomio en el numerador y un trinomio en el denominador, y los trinomios se pueden factorizar o no. Si se factorizan tanto el numerador como el denominador, entonces entre ellos puede haber factores iguales que se pueden reducir.

Primero que nada, debes factorizar el numerador.

Primero, debes verificar si esta ecuación se puede factorizar, encontremos el discriminante. Dado que , el signo depende del producto (debe ser menor que 0), en este ejemplo, es decir, la ecuación dada tiene raíces.

Para resolverlo utilizamos el teorema de Vieta:

En este caso, dado que estamos tratando con raíces, será bastante difícil seleccionar simplemente las raíces. Pero vemos que los coeficientes están balanceados, es decir, si asumimos que , y sustituimos este valor en la ecuación, obtenemos el siguiente sistema: , es decir, 5-5=0. Por tanto, hemos seleccionado una de las raíces de esta ecuación cuadrática.

Buscaremos la segunda raíz sustituyendo lo que ya se sabe en el sistema de ecuaciones, por ejemplo, , es decir .

Así, hemos encontrado ambas raíces de la ecuación cuadrática y podemos sustituir sus valores en la ecuación original para factorizarla:

Recordemos el problema original, necesitábamos reducir la fracción.

Intentemos resolver el problema sustituyendo .

Es necesario no olvidar que en este caso el denominador no puede ser igual a 0, es decir, , .

Si se cumplen estas condiciones, entonces hemos reducido la fracción original a la forma.

Problema número 3 (tarea con un parámetro)

¿A qué valores del parámetro es la suma de las raíces de la ecuación cuadrática?

Si las raíces de esta ecuación existen, entonces , pregunta: cuando.