Uno de los polígonos regulares. Propiedades de los polígonos regulares

Definición polígono regular puede depender de la definición de un polígono: si se define como una polilínea cerrada plana, entonces aparece la definición polígono estrellado regular Cómo no convexo un polígono en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales.

Propiedades

Coordenadas

Dejar xC (\displaystyle x_(C)) Y y C (\displaystyle y_(C))- coordenadas del centro, y R (\displaystyle R)- radio del círculo, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0)) es la coordenada angular del primer vértice, entonces las coordenadas cartesianas de los vértices de un n-gón regular están determinadas por las fórmulas:

Dónde i = 0 … n ​​​​− 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)

Dimensiones

Dejar R (\displaystyle R)- el radio del círculo circunscrito alrededor de un polígono regular, entonces el radio del círculo inscrito es igual a

y la longitud del lado del polígono es

Cuadrado

norte (\displaystyle n) y longitud lateral un (displaystyle a) es:

Área de un polígono regular con número de lados norte (\ Displaystyle n), inscrita en una circunferencia de radio R (\displaystyle R), es:

Área de un polígono regular con número de lados norte (\ Displaystyle n), circunscrita a un círculo de radio r (\displaystyle r), es:

Área de un polígono regular con número de lados norte (\ Displaystyle n) igual a

Dónde r (\displaystyle r)- distancia desde el centro del lado hasta el centro, un (displaystyle a)- longitud lateral.

Área de un polígono regular que pasa por el perímetro ( P (\displaystyle P)) y el radio del círculo inscrito ( r (\displaystyle r)) es:

Perímetro

Si necesitas calcular la longitud del lado de un n-gón regular inscrito en un círculo, conociendo la circunferencia L (\displaystyle L) Puedes calcular la longitud de un lado de un polígono:

Perímetro P norte (\ Displaystyle P_ (n)) es igual

Dónde norte (\ Displaystyle n)- el número de lados del polígono.

Solicitud

Los polígonos regulares, por definición, son las caras de los poliedros regulares.

Los matemáticos griegos antiguos (Antífona, Brisón de Heraclea, Arquímedes, etc.) utilizaban polígonos regulares para calcular números. Calcularon las áreas de los polígonos inscritos en un círculo y circunscritos a su alrededor, aumentando gradualmente el número de sus lados y obteniendo así una estimación del área del círculo.

Historia

Construyendo un polígono regular con norte Los lados siguieron siendo un problema para los matemáticos hasta el siglo XIX. Esta construcción es idéntica a dividir un círculo en norte partes iguales, ya que conectando los puntos que dividen el círculo en partes, se puede obtener el polígono deseado.

Desde entonces, el problema se considera completamente resuelto.

Teorema 1. Se puede describir un círculo alrededor de cualquier polígono regular.

Sea ABCDEF (Fig. 419) un polígono regular; es necesario demostrar que se puede describir un círculo a su alrededor.

Sabemos que siempre es posible trazar un círculo a través de tres puntos que no se encuentran en la misma línea; Esto significa que siempre es posible dibujar un círculo que pase por tres vértices cualesquiera de un polígono regular, por ejemplo por los vértices E, D y C. Sea el punto O el centro de este círculo.

Demostremos que este círculo también pasará por el cuarto vértice del polígono, por ejemplo por el vértice B.

Los segmentos OE, OD y OS son iguales entre sí y cada uno es igual al radio del círculo. Realicemos otro segmento OB; de este segmento no se puede decir inmediatamente que también sea igual al radio del círculo; esto debe demostrarse. Considere los triángulos OED y ODC, son isósceles e iguales, por lo tanto, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Si esquina interna de un polígono dado es igual a α, entonces ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; pero si ∠4= α / 2, entonces ∠5 = α / 2, es decir ∠4 = ∠5.

De aquí concluimos que (Delta)OSD = (Delta)OSV y, por tanto, OB = OS, es decir, el segmento OB es igual al radio del círculo dibujado. De esto se deduce que el círculo también pasará por el vértice B del polígono regular.

Usando la misma técnica, demostraremos que el círculo construido pasará por todos los demás vértices del polígono. Esto significa que este círculo estará circunscrito a este polígono regular. El teorema ha sido demostrado.

Teorema 2. Un círculo puede inscribirse en cualquier polígono regular.

Sea ABCDEF un polígono regular (Fig. 420), debemos demostrar que en él se puede inscribir un círculo.

Del teorema anterior se sabe que se puede describir una circunferencia alrededor de un polígono regular. Sea el punto O el centro de este círculo.

Conectemos el punto Oc con los vértices del polígono. Los triángulos resultantes OED, ODC, etc. son iguales entre sí, lo que significa que sus alturas extraídas desde el punto O también son iguales, es decir, OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Por tanto, un círculo descrito desde el punto O como desde un centro con un radio igual al segmento OK pasará por los puntos K, L, M, N, P y Q, y las alturas de los triángulos serán los radios del círculo. Los lados del polígono son perpendiculares a los radios en estos puntos, por lo que son tangentes a este círculo. Esto significa que el círculo construido está inscrito en este polígono regular.

La misma construcción se puede realizar para cualquier polígono regular, por lo tanto, se puede inscribir un círculo en cualquier polígono regular.

Consecuencia. Los círculos circunscritos a un polígono regular e inscritos en él tienen un centro común.

Definiciones.

1. El centro de un polígono regular es el centro común de las circunferencias circunscritas a este polígono e inscritas en él.

2. Una perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular hacia su lado se llama apotema de un polígono regular.

Expresar los lados de polígonos regulares en términos del circunradio

Al usar funciones trigonométricas Puedes expresar el lado de cualquier polígono regular en términos del radio del círculo circunscrito a su alrededor.

Sea AB el lado derecho norte-gon inscrito en un círculo de radio OA = R (Fig.).

Dibujemos la apotema OD de un polígono regular y consideremos el triángulo rectángulo AOD. en este triangulo

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / norte= 180° / norte

AD = AO sen ∠AOD = R sen 180° / norte ;

pero AB = 2AD y por tanto AB = 2R sen 180° / norte .

Longitud lateral correcta norte-gon inscrito en un círculo generalmente se denota un, por lo que la fórmula resultante se puede escribir de la siguiente manera:

un= 2R sen 180° / norte .

Consecuencias:

1. Longitud del lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio R , se expresa mediante la fórmula A 6 = R, porque

A 6 = 2R sen 180° / 6 = 2R sen 30° = 2R 1 / 2 = R.

2. La longitud del lado de un cuadrilátero regular (cuadrado) inscrito en un círculo de radio R , se expresa mediante la fórmula A 4 = R√2 , porque

A 4 = 2R sen 180° / 4 = 2R sen 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Longitud del lado de un triángulo regular inscrito en una circunferencia de radio R , se expresa mediante la fórmula A 3 = R√3 , porque.

A 3 = 2R sen 180° / 3 = 2R sen 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Área de un polígono regular

Que se dé el correcto norte-gon (figura). Se requiere determinar su área. Denotamos el lado del polígono por A y el centro a través de O. Conectamos el centro con los extremos de cualquier lado del polígono con segmentos, obtenemos un triángulo en el que dibujamos la apotema del polígono.

El área de este triángulo es ah / 2. Para determinar el área de todo el polígono, debes multiplicar el área de un triángulo por el número de triángulos, es decir, por norte. Obtenemos: S = ah / 2 norte = ahn / 2 pero un es igual al perímetro del polígono. Denotémoslo por R.

Finalmente obtenemos: S = P h / 2. donde S es el área de un polígono regular, P es su perímetro, h- apotema.

El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro por la apotema.

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REVISAR MATERIAL

a es el lado del octágono,

R - radio del círculo circunscrito,

r es el radio del círculo inscrito.

Suma de ángulos interiores de un n-gón regular

180(n-2).

Medida en grados del ángulo interior de un n-gon

180(n-2): n.

Lado de la derecha n-ka

Radio de un círculo inscrito en un polígono regular.

Área de n correcta

CEREMONIAS

1. a) La suma de los ángulos internos de un hexágono es igual a:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) La suma de los ángulos internos de un octágono es igual a:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Solución:
a) Según la fórmula, la suma de los ángulos de un hexágono es: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Respuesta: 720 ° .


2. a) El lado de un polígono regular mide 5 cm, el ángulo interno es 144°
a) El lado de un polígono regular mide 7 cm, el ángulo interno mide 150° . Encuentra el perímetro del polígono.
Solución:
a) 1) Encuentra el número de lados del polígono:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Encuentra el perímetro del decágono: P=5*10=50 cm.
Respuesta: 50 cm.


3. a) El perímetro de un pentágono regular es de 30 cm. Calcula el diámetro del círculo circunscrito alrededor del pentágono.
b) El diámetro del círculo es de 10 cm. Calcula el perímetro del pentágono inscrito en él.
Solución:
a) 1) Encuentra el lado del pentágono: 30:5=6 cm.
2) Encuentra el radio del círculo circunscrito:
a=2R*sin(180 ° :norte);
6=2R*pecado (180 ° :5);
R=3:pecado 36 ° =3:0,588=5,1cm
Respuesta: 5,1 cm.


4. a) La suma de los ángulos internos de un polígono regular es 2520°
b) La suma de los ángulos internos de un polígono regular es 1800° . Encuentra el número de lados del polígono.
Solución:
a) Calcula el número de lados del polígono:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° norte;
2880 ° =180 ° norte;
n=16.
Respuesta: 16 lados.


5. a) El radio del círculo circunscrito a un dodecágono regular es de 5 cm. Calcula el área del polígono.
b) El radio del círculo circunscrito a un octágono regular es de 6 cm. Calcula el área del polígono.
Solución:
a) Encuentra el área del dodecágono:
S=0,5* R 2 *n*sin(360° :n)=0.5*25*12*sin30° =75cm 2 .
Respuesta: 75 cm 2 .


6. Calcula el área del hexágono si se conoce el área de la parte sombreada:

El área del triángulo ABC es 0,5*AB*BC*sen120° y es igual por condición a 48.

7. a) Calcula el número de lados de un polígono regular si su ángulo externo en el vértice es 18° .
b) Calcula el número de lados de un polígono regular si su ángulo externo en el vértice es 45° .
Solución:
a) La suma de los ángulos externos de un polígono regular es 360 ° .
Encontremos el número de lados: 360 ° :18 ° =20.
Respuesta: 20 lados.


8. Calcula el área del anillo si la cuerda AB es igual a:
a) 8 cm; b) 10 cm.

1) OV - radio del círculo exterior, OH - radio del círculo interior. El área del anillo se puede encontrar usando la fórmula: S anillo = S círculo exterior - S círculo interior.

S= *OB 2 - π*OH 2 = π(OB 2 -OH 2 ).

2) Considere el triángulo ABO - isósceles (OA = OB como radios). OH es la altura y la mediana en el triángulo ABO, por lo tanto AN=HB=8:2= 4 cm.

3) Considere el triángulo ONB - rectangular: HB 2 =OB 2 -ÉL 2 , por eso

transmisión exterior 2 -ÉL 2 =16.

4) Encuentra el área del anillo:

S=π(OB 2 -OH 2 )=16 π centímetro 2 .

Respuesta:16 π centímetro 2 .

P=6*AB;

10. Demuestra que en un octágono regular el área de la parte sombreada es igual a:
a) una cuarta parte del área del octágono; b) la mitad del área del octágono:

1) Dibujemos las bisectrices de las esquinas del octágono, se cruzarán en el punto O. El área del octágono es igual a la suma de las áreas de los ocho resultantes. triangulos iguales, es decir. S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).

2) El cuadrilátero ABEF es un paralelogramo (AB//EF y AB=EF). Las diagonales de un paralelogramo son iguales: AE=BF (como los diámetros de un círculo circunscrito a un octágono), por lo tanto, ABEF es un rectángulo. Las diagonales de un rectángulo lo dividen en cuatro triángulos iguales.

3) Encuentra el área del cuadrilátero AFKM:

S (ABEF)= 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S (AFKM)=2* S (OEF).

4) Encuentra la relación entre el área del octágono y el área de la parte sombreada:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2* S (OEF))=4.

Q.E.D.

1) AB=AC=2R. El ángulo BAC es recto, porque el área del sector BAC es igual a un cuarto del área del círculo .

2) Considere el cuadrilátero AO 2 mes 1 . es un rombo porque todos los lados son iguales al radio, y como Uno de sus ángulos mide 90°, entonces AO 2 mes 1 - cuadrado.

TAREAS PARA SOLUCIÓN INDEPENDIENTE

1. ¿Cuál es la suma de los ángulos externos de un pentágono?

2. ¿Cuál es el área del octágono si el área del área sombreada es 20?

Triángulo, cuadrado, hexágono: casi todo el mundo conoce estas figuras. Pero no todo el mundo sabe qué es un polígono regular. Pero todos son iguales. Un polígono regular es aquel que tiene ángulos y lados iguales. Hay muchas figuras de este tipo, pero todas tienen las mismas propiedades y se les aplican las mismas fórmulas.

Propiedades de los polígonos regulares

Cualquier polígono regular, ya sea un cuadrado o un octágono, puede inscribirse en una circunferencia. Esta propiedad básica se utiliza a menudo al construir una figura. Además, se puede inscribir un círculo en un polígono. En este caso, el número de puntos de contacto será igual al número de sus lados. Es importante que un círculo inscrito en un polígono regular tenga un centro común con él. Estos formas geométricas están sujetos a los mismos teoremas. Cualquier lado de un n-gón regular está relacionado con el radio del círculo R que lo rodea. Por lo tanto, se puede calcular usando la siguiente fórmula: a = 2R ∙ sin180°. A través de él puedes encontrar no solo los lados, sino también el perímetro del polígono.

Cómo encontrar el número de lados de un polígono regular

Cualquiera consta de un cierto número de segmentos iguales entre sí que, cuando se conectan, forman una línea cerrada. En este caso, todos los ángulos de la figura resultante tienen el mismo valor. Los polígonos se dividen en simples y complejos. El primer grupo incluye un triángulo y un cuadrado. Los polígonos complejos tienen numero mayor lados Estos también incluyen figuras en forma de estrella. en complejo polígonos regulares Los lados se encuentran inscribiéndolos en un círculo. Demos una prueba. Dibuja un polígono regular con un número arbitrario de lados n. Dibuja un círculo a su alrededor. Establece el radio R. Ahora imagina que te dan un n-gon. Si los puntos de sus ángulos se encuentran en el círculo y son iguales entre sí, entonces los lados se pueden encontrar usando la fórmula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Calcular el número de lados de un triángulo regular inscrito

Un triángulo equilátero es un polígono regular. Se le aplican las mismas fórmulas que a un cuadrado y un n-gón. Un triángulo se considerará regular si sus lados tienen la misma longitud. En este caso, los ángulos son 60⁰. Construyamos un triángulo con una longitud de lado dada a. Conociendo su mediana y su altura, puedes encontrar el valor de sus lados. Para ello utilizaremos el método de hallar mediante la fórmula a = x: cosα, donde x es la mediana o altura. Como todos los lados del triángulo son iguales, obtenemos a = b = c. Entonces será verdadera la siguiente afirmación: a = b = c = x: cosα. De manera similar, puedes encontrar el valor de los lados en un triángulo isósceles, pero x será la altura dada. En este caso, conviene proyectarlo estrictamente sobre la base de la figura. Entonces, conociendo la altura x, encontramos el lado a triangulo isósceles según la fórmula a = b = x: cosα. Después de encontrar el valor de a, puedes calcular la longitud de la base c. Apliquemos el teorema de Pitágoras. Buscaremos el valor de la mitad de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Entonces c = 2xtanα. Como esto de una manera sencilla puedes encontrar el número de lados de cualquier polígono inscrito.

Calcular los lados de un cuadrado inscrito en un círculo

Como cualquier otro polígono regular inscrito, un cuadrado tiene lados iguales y esquinas. Se le aplican las mismas fórmulas que a un triángulo. Puedes calcular los lados de un cuadrado usando el valor de la diagonal. Consideremos este método con más detalle. Se sabe que una diagonal divide un ángulo por la mitad. Inicialmente su valor era de 90 grados. Así, después de la división, se forman dos. Sus ángulos en la base serán iguales a 45 grados. En consecuencia, cada lado del cuadrado será igual, es decir: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, donde e es la diagonal del cuadrado, o la base del triángulo rectángulo formado después división. Esta no es la única forma de encontrar los lados de un cuadrado. Inscribamos esta figura en un círculo. Conociendo el radio de este círculo R, encontramos el lado del cuadrado. Lo calcularemos de la siguiente manera: a4 = R√2. Los radios de los polígonos regulares se calculan mediante la fórmula R = a: 2tg (360 o: 2n), donde a es la longitud del lado.

Cómo calcular el perímetro de un n-gon

El perímetro de un n-gon es la suma de todos sus lados. Es fácil de calcular. Para hacer esto, necesita conocer el significado de todos los lados. Para algunos tipos de polígonos existen fórmulas especiales. Te permiten encontrar el perímetro mucho más rápido. Se sabe que cualquier polígono regular tiene lados iguales. Por tanto, para calcular su perímetro basta con conocer al menos uno de ellos. La fórmula dependerá del número de lados de la figura. En general, se ve así: P = an, donde a es el valor del lado y n es el número de ángulos. Por ejemplo, para encontrar el perímetro de un octágono regular con un lado de 3 cm, debes multiplicarlo por 8, es decir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Para un hexágono con un lado de 5 cm, calculamos. de la siguiente manera: P = 5 ∙ 6 = 30 cm y así para cada polígono.

Encontrar el perímetro de un paralelogramo, cuadrado y rombo

Dependiendo de cuántos lados tenga un polígono regular se calcula su perímetro. Esto facilita mucho la tarea. De hecho, a diferencia de otras figuras, en este caso no es necesario buscar todos sus lados, uno es suficiente. Usando el mismo principio, encontramos el perímetro de los cuadriláteros, es decir, un cuadrado y un rombo. A pesar de que se trata de figuras diferentes, la fórmula para ellas es la misma: P = 4a, donde a es el lado. Pongamos un ejemplo. Si el lado de un rombo o cuadrado mide 6 cm, entonces encontramos el perímetro de la siguiente manera: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Para un paralelogramo, solo los lados opuestos son iguales. Por tanto, su perímetro se encuentra utilizando un método diferente. Entonces, necesitamos saber el largo a y el ancho b de la figura. Luego aplicamos la fórmula P = (a + b) ∙ 2. Un paralelogramo en el que todos los lados y ángulos entre ellos son iguales se llama rombo.

Encontrar el perímetro de un triángulo equilátero y rectángulo

El perímetro del correcto se puede encontrar usando la fórmula P = 3a, donde a es la longitud del lado. Si se desconoce, se puede encontrar a través de la mediana. EN triangulo rectángulo igual valor tener sólo dos lados. La base se puede encontrar mediante el teorema de Pitágoras. Una vez conocidos los valores de los tres lados calculamos el perímetro. Se puede encontrar aplicando la fórmula P = a + b + c, donde a y b son lados iguales y c es la base. Recuerde que en un triángulo isósceles a = b = a, lo que significa a + b = 2a, entonces P = 2a + c. Por ejemplo, el lado de un triángulo isósceles mide 4 cm, encontremos su base y perímetro. Calculamos el valor de la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras con = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Ahora calcula el perímetro P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Cómo encontrar los ángulos de un polígono regular.

Un polígono regular aparece en nuestras vidas todos los días, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo o un octágono regulares. Parecería que no hay nada más fácil que construir tú mismo esta figura. Pero esto sólo es sencillo a primera vista. Para construir cualquier n-gón, necesitas saber el valor de sus ángulos. ¿Pero cómo encontrarlos? Incluso los científicos antiguos intentaron construir polígonos regulares. Descubrieron cómo encajarlos en círculos. Y luego se marcaron los puntos necesarios y se conectaron con líneas rectas. Para figuras simples El problema de la construcción fue resuelto. Se obtuvieron fórmulas y teoremas. Por ejemplo, Euclides, en su famosa obra "Inception", se ocupó de la resolución de problemas de 3, 4, 5, 6 y 15 gónos. Encontró formas de construirlos y encontrar ángulos. Veamos cómo hacer esto para un 15 gon. Primero necesitas calcular la suma de sus ángulos interiores. Es necesario utilizar la fórmula S = 180⁰(n-2). Entonces, nos dan un góno de 15, lo que significa que el número n es 15. Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula y obtenemos S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Encontramos la suma de todos los ángulos interiores de un góno de 15. Ahora necesitas obtener el valor de cada uno de ellos. Son 15 ángulos en total. Hacemos el cálculo 2340⁰: 15 = 156⁰. Esto significa que cada ángulo interno es igual a 156⁰, ahora usando una regla y un compás puedes construir un góndola regular de 15. Pero ¿qué pasa con los n-gons más complejos? Durante muchos siglos, los científicos han luchado por resolver este problema. Fue encontrado recién en el siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss. Pudo construir un 65537-gon. Desde entonces, el problema se considera oficialmente resuelto por completo.

Cálculo de ángulos de n-gonos en radianes.

Por supuesto, hay varias formas de encontrar los ángulos de los polígonos. La mayoría de las veces se calculan en grados. Pero también se pueden expresar en radianes. ¿Cómo hacer esto? Debe proceder de la siguiente manera. Primero, averiguamos el número de lados de un polígono regular, luego le restamos 2. Esto significa que obtenemos el valor: n - 2. Multiplicamos la diferencia encontrada por el número n (“pi” = 3,14). Ahora solo queda dividir el producto resultante por el número de ángulos en el n-gón. Consideremos estos cálculos usando el mismo decágono como ejemplo. Entonces, el número n es 15. Apliquemos la fórmula S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Por supuesto, esta no es la única forma de calcular un ángulo en radianes. Simplemente puedes dividir el ángulo en grados por 57,3. Después de todo, esto es cuántos grados equivalen a un radianes.

Cálculo de ángulos en grados.

Además de los grados y radianes, puedes intentar encontrar los ángulos de un polígono regular en grados. Esto se hace de la siguiente manera. De número totalángulos, restar 2, dividir la diferencia resultante por el número de lados de un polígono regular. Multiplicamos el resultado obtenido por 200. Por cierto, prácticamente no se utiliza una unidad de medida de ángulos como los grados.

Cálculo de ángulos externos de n-gonos.

Para cualquier polígono regular, además del interno, también puedes calcular el ángulo externo. Su valor se encuentra de la misma forma que para otras figuras. Entonces, para encontrar el ángulo externo de un polígono regular, necesitas saber el valor del ángulo interno. Además, sabemos que la suma de estos dos ángulos siempre es igual a 180 grados. Por tanto, hacemos los cálculos de la siguiente manera: 180⁰ menos el valor del ángulo interno. Encontramos la diferencia. Será igual al valor del ángulo adyacente a él. Por ejemplo, el ángulo interno de un cuadrado es de 90 grados, lo que significa que el ángulo externo será 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Como vemos, no es difícil de encontrar. El ángulo externo puede tomar un valor de +180⁰ a -180⁰, respectivamente.