División en columnas 91 7. División en columnas de números naturales, ejemplos, soluciones. Ejemplos de división

Números simples o complejos de varios dígitos dividiendo la división en una serie de pasos más simples. Como ocurre con todos los problemas de división, un número, llamado dividendo, se divide por otro, llamado divisor, lo que produce un resultado llamado cociente. Este método le permite realizar la división de números arbitrariamente grandes dividiendo el proceso en una serie de pasos simples y secuenciales.

YouTube enciclopédico

1 / 3

✪ División en columnas de números enteros - matemáticas | uchim.org

✪ División de columnas

✪ División de columnas

Subtítulos

Designación en Rusia, Kazajstán, Kirguistán, Francia, Bélgica, España, Ucrania, Bielorrusia, Moldavia, Georgia, Tayikistán, Uzbekistán, Mongolia

En Rusia, el divisor se encuentra a la derecha del dividendo, separado de él por una línea vertical. La división también ocurre en una columna, pero el cociente (resultado) se escribe debajo del divisor y se separa de él por una línea horizontal.

8420│4 500│4 -8 │2105 -4 │125 4 10 - 4 - 8 20 20 - 20 -20 0 0

Designación en Alemania

• Algunos países europeos utilizan una designación diferente. El cálculo es exactamente el mismo, pero escrito de manera diferente, como se muestra en el ejemplo:

127 ÷ 4 = 31,75 (12 - 12 = 0 que se escribe en la siguiente línea) 07 (siete se traslada del dividendo 127) 4 2 8 20 (5 × 4 = 20) 0

Designación en los Países Bajos

El cálculo es exactamente el mismo, pero escrito de manera diferente (el divisor se ubica a la izquierda del dividendo), como se muestra en el ejemplo de dividir 135 entre 11 (con resultado de 12 y resto de 3):

11 / 135 \ 12 11 -- 25 22 -- 3

Designación en América y Gran Bretaña

Al dividir en papel, no utilice los símbolos de barra (/) u obelus (÷). En cambio, el dividendo, el divisor y el cociente (mientras se resuelven) se organizan en una tabla. Ejemplo de dividir 500 entre 4 (resultando en 125):

Ejemplo de división con resto:

1. Primero, observe el dividendo (127) para determinar si se le puede restar el divisor (4) (en nuestro caso no, ya que tenemos uno como primer dígito y no podemos usar números negativos, por lo que no podemos escribir − 3). )
2. Si el primer dígito no es lo suficientemente grande, tomamos el siguiente dígito junto con él. Así, ahora tenemos a nuestra disposición el número 12 como primer número.
3. Toma el número máximo de cuatros que se pueden restar del primer número. En nuestro caso, a 12 se le pueden restar 3 cuatros
4. En el cociente (arriba del segundo dígito del dividendo, ya que este es el último dígito que se usa), escribe el tres resultante, y debajo del dividendo el número 12.
5. Resta el 12 que escribiste del número correspondiente encima (el resultado, por supuesto, será 0)
6. Repita el primer paso
7. Como 0 no es un número adecuado para el dividendo, mueva el siguiente dígito del dividendo (7). El resultado será 07.
8. Repita los pasos 3, 4 y 7.
9. Tendrás 31 como cociente, 3 como resto y nada más en el dividendo.
10. Puedes seguir dividiendo, obteniendo una fracción decimal en el cociente: añade un punto al cociente de la derecha y un cero al resto (3) de la derecha, y continúa dividiendo sumando un cero siempre que el dividendo sea menor que el divisor (4)

La división es una de las cuatro operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación). La división, como otras operaciones, es importante no sólo en matemáticas, sino también en la vida cotidiana. Por ejemplo, vosotros toda la clase (25 personas) donáis dinero y compráis un regalo para el profesor, pero no lo gastáis todo, sobrará cambio. Por lo que tendrás que dividir el cambio entre todos. La operación de división entra en juego para ayudarte a resolver este problema.

¡La división es una operación interesante, como veremos en este artículo!

Dividir números

Entonces, ¡un poco de teoría y luego práctica! ¿Qué es la división? La división es dividir algo en partes iguales. Es decir, podría ser una bolsa de dulces que hay que dividir en partes iguales. Por ejemplo, en una bolsa hay 9 caramelos y la persona que quiere recibirlos son tres. Luego debes dividir estos 9 dulces entre tres personas.

Está escrito así: 9:3, la respuesta será el número 3. Es decir, al dividir el número 9 por el número 3 se obtiene el número de números tres contenidos en el número 9. La acción inversa, un cheque, será multiplicación. 3*3=9. ¿Bien? Absolutamente.

Entonces veamos el ejemplo 12:6. Primero, nombremos cada componente del ejemplo. 12 – dividendo, es decir. un número que se puede dividir en partes. 6 es un divisor, este es el número de partes en las que se divide el dividendo. Y el resultado será un número llamado “cociente”.

Dividamos 12 entre 6, la respuesta será el número 2. Puedes comprobar la solución multiplicando: 2*6=12. Resulta que el número 6 está contenido 2 veces en el número 12.

División con resto

¿Qué es la división con resto? Esta es la misma división, sólo que el resultado no es un número par, como se muestra arriba.

Por ejemplo, dividamos 17 entre 5. Como el número más grande divisible entre 5 y 17 es 15, entonces la respuesta será 3 y el resto es 2, y se escribe así: 17:5 = 3(2).

Por ejemplo, 22:7. De la misma manera determinamos el número máximo divisible por 7 hasta 22. Este número es 21. La respuesta entonces será: 3 y el resto 1. Y está escrito: 22:7 = 3 (1).

División por 3 y 9

Un caso especial de división sería la división entre el número 3 y el número 9. Si quieres saber si un número es divisible por 3 o por 9 sin resto, necesitarás:

Encuentra la suma de los dígitos del dividendo.

Divide entre 3 o 9 (dependiendo de lo que necesites).

Si la respuesta se obtiene sin resto, entonces el número se dividirá sin resto.

Por ejemplo, el número 18. La suma de los dígitos es 1+8 = 9. La suma de los dígitos es divisible por 3 y 9. El número 18:9=2, 18:3=6. Dividido sin resto.

Por ejemplo, el número 63. La suma de los dígitos es 6+3 = 9. Divisible por 9 y 3. 63:9 = 7 y 63:3 = 21. Estas operaciones se realizan con cualquier número para averiguarlo. si es divisible por el resto entre 3 o 9, o no.

Multiplicación y división

La multiplicación y la división son operaciones opuestas. La multiplicación se puede utilizar como prueba para la división y la división se puede utilizar como prueba para la multiplicación. Puedes aprender más sobre la multiplicación y dominar la operación en nuestro artículo sobre multiplicación. Que describe la multiplicación en detalle y cómo realizarla correctamente. Allí también encontrarás la tabla de multiplicar y ejemplos para entrenar.

Aquí hay un ejemplo de cómo verificar la división y la multiplicación. Digamos que el ejemplo es 6*4. Respuesta: 24. Entonces verifiquemos la respuesta por división: 24:4=6, 24:6=4. Se decidió correctamente. En este caso, la verificación se realiza dividiendo la respuesta por uno de los factores.

O se da un ejemplo para la división 56:8. Respuesta: 7. Entonces la prueba será 8*7=56. ¿Bien? Sí. En este caso, la prueba se realiza multiplicando la respuesta por el divisor.

Clase de división 3

En tercer grado apenas empiezan a pasar por la división. Por tanto, los alumnos de tercer grado resuelven los problemas más sencillos:

Problema 1. A un trabajador de una fábrica se le asignó la tarea de poner 56 pasteles en 8 paquetes. ¿Cuántos pasteles se deben poner en cada paquete para hacer la misma cantidad en cada uno?

Problema 2. En la víspera de Año Nuevo en la escuela, los niños de una clase de 15 alumnos recibieron 75 dulces. ¿Cuántos dulces debe recibir cada niño?

Problema 3. Roma, Sasha y Misha recogieron 27 manzanas del manzano. ¿Cuántas manzanas obtendrá cada persona si es necesario dividirlas en partes iguales?

Problema 4. Cuatro amigos compraron 58 galletas. Pero luego se dieron cuenta de que no podían dividirlos en partes iguales. ¿Cuántas galletas adicionales deben comprar los niños para que cada uno reciba 15?

división 4to grado

La división en cuarto grado es más grave que en tercero. Todos los cálculos se realizan mediante el método de división de columnas y los números involucrados en la división no son pequeños. ¿Qué es la división larga? Puedes encontrar la respuesta a continuación:

División de columnas

¿Qué es la división larga? Este es un método que te permite encontrar la respuesta al dividir números grandes. Si los números primos como 16 y 4 se pueden dividir y la respuesta es clara: 4, entonces 512:8 no es fácil para un niño en su mente. Y nuestra tarea es hablar sobre la técnica para resolver tales ejemplos.

Veamos un ejemplo, 512:8.

1 paso. Escribamos el dividendo y el divisor de la siguiente manera:

En última instancia, el cociente se escribirá debajo del divisor y los cálculos debajo del dividendo.

Paso 2. Empezamos a dividir de izquierda a derecha. Primero tomamos el número 5:

Paso 3. El número 5 es menor que el número 8, lo que significa que no será posible dividirlo. Por tanto, tomamos otro dígito del dividendo:

Ahora 51 es mayor que 8. Este es un cociente incompleto.

Paso 4. Ponemos un punto debajo del divisor.

Paso 5. Después del 51 hay otro número 2, lo que significa que habrá un número más en la respuesta, claro. el cociente es un número de dos dígitos. Pongamos el segundo punto:

Paso 6. Comenzamos la operación de división. El número más grande divisible por 8 sin resto de 51 es 48. Al dividir 48 entre 8, obtenemos 6. Escribe el número 6 en lugar del primer punto debajo del divisor:

Paso 7. Luego escribe el número exactamente debajo del número 51 y pon un signo “-”:

Paso 8. Luego restamos 48 de 51 y obtenemos la respuesta 3.

* 9 pasos*. Anotamos el número 2 y lo escribimos al lado del número 3:

Paso 10 Dividimos el número resultante 32 entre 8 y obtenemos el segundo dígito de la respuesta: 4.

Entonces la respuesta es 64, sin resto. Si dividimos el número 513, el resto sería uno.

División de tres dígitos

La división de números de tres dígitos se realiza mediante el método de división larga, que se explicó en el ejemplo anterior. Un ejemplo de un número de solo tres dígitos.

División de fracciones

Dividir fracciones no es tan difícil como parece a primera vista. Por ejemplo, (2/3): (1/4). El método de esta división es bastante sencillo. 2/3 es el dividendo, 1/4 es el divisor. Puedes reemplazar el signo de división (:) con multiplicación ( ), pero para hacer esto necesitas intercambiar el numerador y el denominador del divisor. Es decir, obtenemos: (2/3)(4/1), (2/3)*4, esto es igual a 8/3 o 2 enteros y 2/3. Pongamos otro ejemplo, con una ilustración para una mejor comprensión. Considere las fracciones (4/7): (2/5):

Como en el ejemplo anterior, invertimos el divisor 2/5 y obtenemos 5/2, reemplazando la división por la multiplicación. Luego obtenemos (4/7)*(5/2). Hacemos una reducción y respondemos: 10/7, luego sacamos la parte entera: 1 entero y 3/7.

Dividir números en clases

Imaginemos el número 148951784296 y dividámoslo en tres dígitos: 148.951.784.296 Entonces, de derecha a izquierda: 296 es la clase de unidades, 784 es la clase de miles, 951 es la clase de millones, 148 es la clase de miles de millones. A su vez, en cada clase 3 dígitos tienen su propio dígito. De derecha a izquierda: el primer dígito son las unidades, el segundo dígito son las decenas y el tercero son las centenas. Por ejemplo, la clase de unidades es 296, 6 son unidades, 9 son decenas, 2 son centenas.

División de números naturales

La división de números naturales es la división más simple descrita en este artículo. Puede ser con o sin resto. El divisor y el dividendo pueden ser cualquier número entero no fraccionario.

Apúntate al curso "Acelera la aritmética mental, NO la aritmética mental" para aprender a sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar al cuadrado números e incluso extraer raíces de forma rápida y correcta. En 30 días, aprenderá a utilizar trucos sencillos para simplificar operaciones aritméticas. Cada lección contiene nuevas técnicas, ejemplos claros y tareas útiles.

Presentación de la división

La presentación es otra forma de visualizar el tema de la división. A continuación encontraremos un enlace a una excelente presentación que hace un buen trabajo explicando cómo dividir, qué es la división, qué son dividendo, divisor y cociente. ¡No pierdas el tiempo, pero consolida tus conocimientos!

Ejemplos de división

nivel fácil

nivel intermedio

nivel dificil

Juegos para desarrollar la aritmética mental.

Los juegos educativos especiales desarrollados con la participación de científicos rusos de Skolkovo ayudarán a mejorar las habilidades de cálculo mental en una forma de juego interesante.

Juego "Adivina la operación"

El juego "Adivina la operación" desarrolla el pensamiento y la memoria. El objetivo principal del juego es elegir un signo matemático para que la igualdad sea verdadera. En la pantalla se dan ejemplos, mira con atención y pon el signo “+” o “-” requerido para que la igualdad sea verdadera. Los signos “+” y “-” se encuentran en la parte inferior de la imagen, seleccione el signo deseado y haga clic en el botón deseado. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Simplificación"

El juego "Simplificación" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es realizar rápidamente una operación matemática. Se dibuja a un estudiante en la pantalla del pizarrón y se le da una operación matemática para que el estudiante calcule este ejemplo y escriba la respuesta; A continuación se muestran tres respuestas, cuente y haga clic en el número que necesita con el mouse. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Suma rápida"

El juego "Quick Suma" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es elegir números cuya suma sea igual a un número dado. En este juego se da una matriz del uno al dieciséis. Un número dado está escrito encima de la matriz; debe seleccionar los números en la matriz para que la suma de estos dígitos sea igual al número dado. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego de geometría visual

El juego "Visual Geometry" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es contar rápidamente la cantidad de objetos sombreados y seleccionarlos de la lista de respuestas. En este juego, los cuadrados azules se muestran en la pantalla durante unos segundos, debes contarlos rápidamente y luego se cierran. Debajo de la tabla hay cuatro números escritos, debe seleccionar un número correcto y hacer clic en él con el mouse. Si respondiste correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Alcancía"

El juego Piggy Bank desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es elegir qué alcancía tiene más dinero. En este juego hay cuatro alcancías, debes contar cuál alcancía tiene más dinero y mostrarla con el mouse. Si respondiste correctamente, obtendrás puntos y continuarás jugando.

Juego "Recarga rápida de adición"

El juego "Reinicio rápido de la suma" desarrolla el pensamiento, la memoria y la atención. El objetivo principal del juego es elegir los términos correctos, cuya suma será igual al número dado. En este juego, se dan tres números en la pantalla y se da una tarea, sumar el número, la pantalla indica qué número se debe sumar. Selecciona los números deseados entre tres números y los presiona. Si respondiste correctamente, obtendrás puntos y continuarás jugando.

Desarrollo de una aritmética mental fenomenal.

Hemos mirado sólo la punta del iceberg, para entender mejor las matemáticas - inscríbete en nuestro curso: Acelerar la aritmética mental - NO aritmética mental.

¡En el curso no solo aprenderás docenas de técnicas para multiplicar, sumar, multiplicar, dividir y calcular porcentajes de forma simplificada y rápida, sino que también las practicarás en tareas especiales y juegos educativos! La aritmética mental también requiere mucha atención y concentración, que se entrenan activamente a la hora de resolver problemas interesantes.

Lectura rápida en 30 días

Aumente su velocidad de lectura 2-3 veces en 30 días. De 150-200 a 300-600 palabras por minuto o de 400 a 800-1200 palabras por minuto. El curso utiliza ejercicios tradicionales para el desarrollo de la lectura rápida, técnicas que aceleran la función cerebral, métodos para aumentar progresivamente la velocidad de lectura, la psicología de la lectura rápida y preguntas de los participantes del curso. Adecuado para niños y adultos que leen hasta 5000 palabras por minuto.

Desarrollo de la memoria y la atención en un niño de 5 a 10 años.

Objetivo del curso: desarrollar la memoria y la atención del niño para que le resulte más fácil estudiar en la escuela, para que pueda recordar mejor.

Después de completar el curso, el niño podrá:

1. De 2 a 5 veces mejor para recordar textos, caras, números y palabras.

El cerebro, como el cuerpo, necesita estar en forma. El ejercicio físico fortalece el cuerpo, el ejercicio mental desarrolla el cerebro. 30 días de útiles ejercicios y juegos educativos para desarrollar la memoria, la concentración, la inteligencia y la lectura rápida fortalecerán el cerebro, convirtiéndolo en un hueso duro de roer.



El dinero y la mentalidad millonaria

¿Por qué hay problemas con el dinero? En este curso responderemos a esta pregunta en detalle, profundizaremos en el problema y consideraremos nuestra relación con el dinero desde puntos de vista psicológicos, económicos y emocionales. Desde el curso aprenderás lo que debes hacer para resolver todos tus problemas financieros, comenzar a ahorrar dinero e invertirlo en el futuro.

El conocimiento de la psicología del dinero y cómo trabajar con él convierte a una persona en millonario. El 80% de las personas piden más préstamos a medida que aumentan sus ingresos, volviéndose aún más pobres. Por otro lado, los millonarios que se han hecho a sí mismos volverán a ganar millones en 3 a 5 años si empiezan de cero. Este curso te enseña a distribuir adecuadamente los ingresos y reducir gastos, te motiva a estudiar y alcanzar metas, te enseña a invertir dinero y a reconocer una estafa.

La forma más sencilla de dividir números de varios dígitos es con una columna. La división de columnas también se llama división de esquina.

Antes de comenzar a realizar la división por columna, consideraremos en detalle la forma misma de registrar la división por columna. Primero, escribe el dividendo y traza una línea vertical a su derecha:

Detrás de la línea vertical, frente al dividendo, escribe el divisor y dibuja una línea horizontal debajo de él:

Debajo de la línea horizontal se escribirá paso a paso el cociente resultante:

Los cálculos intermedios se escribirán bajo el dividendo:

La forma completa de escribir la división por columnas es la siguiente:

Cómo dividir por columna

Digamos que necesitamos dividir 780 entre 12, escribir la acción en una columna y proceder a la división:

La división de columnas se realiza por etapas. Lo primero que debemos hacer es determinar el dividendo incompleto. Nos fijamos en el primer dígito del dividendo:

este número es 7, ya que es menor que el divisor, no podemos comenzar a dividirlo, lo que significa que necesitamos tomar otro dígito del dividendo, el número 78 es mayor que el divisor, entonces comenzamos a dividir desde él:

En nuestro caso el número 78 será divisible incompleto, se llama incompleto porque es sólo una parte del divisible.

Habiendo determinado el dividendo incompleto, podemos averiguar cuántos dígitos habrá en el cociente, para esto necesitamos calcular cuántos dígitos quedan en el dividendo después del dividendo incompleto, en nuestro caso solo hay un dígito: 0, este significa que el cociente constará de 2 dígitos.

Habiendo descubierto la cantidad de dígitos que deben estar en el cociente, puedes poner puntos en su lugar. Si al completar la división el número de dígitos resulta ser mayor o menor que los puntos indicados, entonces se cometió un error en alguna parte:

Empecemos a dividir. Necesitamos determinar cuántas veces 12 está contenido en el número 78. Para hacer esto, multiplicamos secuencialmente el divisor por los números naturales 1, 2, 3, ... hasta obtener un número lo más cercano posible al dividendo incompleto. o igual a él, pero sin excederlo. Así, obtenemos el número 6, lo escribimos debajo del divisor y de 78 (según las reglas de la resta de columnas) restamos 72 (12 6 = 72). Después de restar 72 de 78, el resto es 6:

Tenga en cuenta que el resto de la división nos muestra si hemos elegido el número correctamente. Si el resto es igual o mayor que el divisor, entonces no elegimos el número correctamente y necesitamos tomar un número mayor.

Al resto resultante - 6, agregue el siguiente dígito del dividendo - 0. Como resultado, obtenemos un dividendo incompleto - 60. Determine cuántas veces 12 está contenido en el número 60. Obtenemos el número 5, lo escribimos en el cociente después del número 6, y restar 60 de 60 (12 5 = 60). El resto es cero:

Como no quedan más dígitos en el dividendo, significa que 780 se divide por 12 por completo. Como resultado de realizar una división larga, encontramos el cociente; está escrito debajo del divisor:

Consideremos un ejemplo en el que el cociente da como resultado ceros. Digamos que necesitamos dividir 9027 entre 9.

Determinamos el dividendo incompleto: este es el número 9. Escribimos 1 en el cociente y restamos 9 de 9. El resto es cero. Normalmente, si en los cálculos intermedios el resto es cero, no se anota:

Anotamos el siguiente dígito del dividendo: 0. Recordamos que al dividir cero por cualquier número habrá cero. Escribimos cero en el cociente (0: 9 = 0) y restamos 0 de 0 en cálculos intermedios. Por lo general, para no saturar los cálculos intermedios, los cálculos con cero no se escriben:

Anotamos el siguiente dígito del dividendo: 2. En los cálculos intermedios resultó que el dividendo incompleto (2) es menor que el divisor (9). En este caso, escribe cero al cociente y elimina el siguiente dígito del dividendo:

Determinamos cuántas veces 9 está contenido en el número 27. Obtenemos el número 3, lo escribimos como cociente y restamos 27 de 27. El resto es cero:

Como no quedan más dígitos en el dividendo, significa que el número 9027 se divide por 9 completamente:

Consideremos un ejemplo en el que el dividendo termina en ceros. Digamos que necesitamos dividir 3000 entre 6.

Determinamos el dividendo incompleto: este es el número 30. Escribimos 5 en el cociente y restamos 30 de 30. El resto es cero. Como ya se mencionó, en los cálculos intermedios no es necesario escribir cero en el resto:

Anotamos el siguiente dígito del dividendo: 0. Dado que dividir cero por cualquier número dará como resultado cero, escribimos cero en el cociente y restamos 0 de 0 en cálculos intermedios:

Anotamos el siguiente dígito del dividendo: 0. Escribimos otro cero en el cociente y restamos 0 de 0 en los cálculos intermedios. Dado que en los cálculos intermedios el cálculo con cero generalmente no se escribe, la entrada se puede acortar, dejando solo. el resto - 0. El cero en el resto al final del cálculo generalmente se escribe para mostrar que la división está completa:

Como no quedan más dígitos en el dividendo, significa que 3000 se divide por 6 completamente:

División de columnas con resto

Digamos que necesitamos dividir 1340 entre 23.

Determinamos el dividendo incompleto: este es el número 134. Escribimos 5 en el cociente y restamos 115 de 134. El resto es 19:

Tomamos el siguiente dígito del dividendo: 0. Determinamos cuántas veces 23 está contenido en el número 190. Obtenemos el número 8, lo escribimos en el cociente y restamos 184 de 190. Obtenemos el resto 6:

Como no quedan más dígitos en el dividendo, la división ha terminado. El resultado es un cociente incompleto de 58 y un resto de 6:

1340: 23 = 58 (resto 6)

Queda por considerar un ejemplo de división con resto, cuando el dividendo es menor que el divisor. Necesitamos dividir 3 entre 10. Vemos que 10 nunca está contenido en el número 3, por lo que escribimos 0 como cociente y restamos 0 de 3 (10 · 0 = 0). Dibuja una línea horizontal y escribe el resto - 3:

3: 10 = 0 (resto 3)

Calculadora de divisiones largas

Esta calculadora te ayudará a realizar divisiones largas. Simplemente ingrese el dividendo y el divisor y haga clic en el botón Calcular.

La división de números naturales, especialmente los de varios dígitos, se realiza cómodamente mediante un método especial, que se llama división por una columna (en una columna). También puedes encontrar el nombre. división de esquina. Observemos de inmediato que la columna se puede utilizar tanto para dividir números naturales sin resto como para dividir números naturales con resto.

En este artículo veremos cuánto tiempo se realiza la división. Aquí hablaremos sobre las reglas de registro y todos los cálculos intermedios. Primero, centrémonos en dividir un número natural de varios dígitos por un número de un solo dígito usando una columna. Después de esto, nos centraremos en los casos en los que tanto el dividendo como el divisor son números naturales multivaluados. Toda la teoría de este artículo incluye ejemplos típicos de división por una columna de números naturales con explicaciones detalladas del proceso de solución e ilustraciones.

Navegación de páginas.

Reglas para grabar al dividir por una columna.

Comencemos estudiando las reglas para escribir el dividendo, el divisor, todos los cálculos intermedios y los resultados al dividir números naturales por una columna. Digamos de inmediato que es más conveniente dividir las columnas por escrito en papel con una línea a cuadros; de esta manera hay menos posibilidades de desviarse de la fila y columna deseadas.

Primero, el dividendo y el divisor se escriben en una línea de izquierda a derecha, después de lo cual se dibuja un símbolo de la forma entre los números escritos. Por ejemplo, si el dividendo es el número 6105 y el divisor es 5 5, entonces su entrada correcta al dividir en una columna será la siguiente:

Mire el siguiente diagrama para ilustrar dónde escribir los cálculos de dividendo, divisor, cociente, resto y intermedio en una división larga.

Del diagrama anterior se desprende claramente que el cociente deseado (o el cociente incompleto al dividir con resto) se escribirá debajo del divisor debajo de la línea horizontal. Y los cálculos intermedios se realizarán debajo del dividendo, y es necesario cuidar de antemano la disponibilidad de espacio en la página. En este caso, debe guiarse por la regla: cuanto mayor sea la diferencia en el número de caracteres en las entradas del dividendo y el divisor, más espacio se necesitará. Por ejemplo, al dividir por una columna el número natural 614,808 entre 51,234 (614,808 es un número de seis dígitos, 51,234 es un número de cinco dígitos, la diferencia en el número de caracteres en los registros es 6−5 = 1), intermedio los cálculos requerirán menos espacio que al dividir los números 8 058 y 4 (aquí la diferencia en el número de caracteres es 4−1=3). Para confirmar nuestras palabras, presentamos registros completos de la división por una columna de estos números naturales:

Ahora puedes proceder directamente al proceso de dividir números naturales por una columna.

División de columnas de un número natural por un número natural de un solo dígito, algoritmo de división de columnas

Está claro que dividir un número natural de un solo dígito por otro es bastante sencillo y no hay razón para dividir estos números en una columna. Sin embargo, será útil practicar tus habilidades iniciales de división larga con estos sencillos ejemplos.

Ejemplo.

Necesitamos dividir con una columna de 8 por 2.

Solución.

Por supuesto, podemos realizar la división usando la tabla de multiplicar e inmediatamente escribir la respuesta 8:2=4.

Pero nos interesa saber cómo dividir estos números en una columna.

Primero, anotamos el dividendo 8 y el divisor 2 como requiere el método:

Ahora comenzamos a descubrir cuántas veces el divisor está contenido en el dividendo. Para ello, multiplicamos secuencialmente el divisor por los números 0, 1, 2, 3, ... hasta que el resultado sea un número igual al dividendo (o un número mayor que el dividendo, si hay una división con resto ). Si obtenemos un número igual al dividendo, inmediatamente lo escribimos debajo del dividendo y en lugar del cociente escribimos el número por el cual multiplicamos el divisor. Si obtenemos un número mayor que el dividendo, debajo del divisor escribimos el número calculado en el penúltimo paso, y en lugar del cociente incompleto escribimos el número por el cual se multiplicó el divisor en el penúltimo paso.

Vamos: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Hemos recibido un número igual al dividendo, así que lo escribimos debajo del dividendo y en lugar del cociente escribimos el número 4. En este caso, el registro quedará de la siguiente forma:

Queda la etapa final de dividir números naturales de un solo dígito con una columna. Debajo del número escrito debajo del dividendo, debe trazar una línea horizontal y restar los números sobre esta línea de la misma manera que se hace al restar números naturales en una columna. El número resultante de la resta será el resto de la división. Si es igual a cero, entonces los números originales se dividen sin resto.

En nuestro ejemplo obtenemos

Ahora tenemos ante nosotros una grabación completa de la división en columnas del número 8 por 2. Vemos que el cociente de 8:2 es 4 (y el resto es 0).

Respuesta:

8:2=4 .

Ahora veamos cómo una columna divide números naturales de un solo dígito con resto.

Ejemplo.

Dividir con una columna de 7 por 3.

Solución.

En la etapa inicial, la entrada se ve así:

Empezamos a averiguar cuántas veces el dividendo contiene al divisor. Multiplicaremos 3 por 0, 1, 2, 3, etc. hasta obtener un número igual o mayor que el dividendo 7. Obtenemos 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (si es necesario, consulte el artículo que compara números naturales). Debajo del dividendo escribimos el número 6 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente incompleto escribimos el número 2 (la multiplicación se realizó en el penúltimo paso).

Queda por realizar la resta, y se completará la división por una columna de números naturales de un solo dígito 7 y 3.

Por tanto, el cociente parcial es 2 y el resto es 1.

Respuesta:

7:3=2 (descanso 1).

Ahora puedes pasar a dividir números naturales de varios dígitos por columnas en números naturales de un solo dígito.

Ahora lo resolveremos algoritmo de división larga. En cada etapa, presentaremos los resultados obtenidos al dividir el número natural de varios dígitos 140,288 por el número natural de un solo dígito 4. Este ejemplo no fue elegido por casualidad, ya que al resolverlo nos encontraremos con todos los matices posibles y podremos analizarlos en detalle.

Primero nos fijamos en el primer dígito de la izquierda en la notación de dividendos. Si el número definido por esta cifra es mayor que el divisor, entonces en el siguiente párrafo tenemos que trabajar con este número. Si este número es menor que el divisor, entonces debemos agregar a la consideración el siguiente dígito a la izquierda en el registro del dividendo y continuar trabajando con el número determinado por los dos dígitos considerados. Por conveniencia, resaltamos en nuestra notación el número con el que trabajaremos.

El primer dígito desde la izquierda en la notación del dividendo 140288 es el dígito 1. El número 1 es menor que el divisor 4, por lo que también nos fijamos en el siguiente dígito de la izquierda en la notación de dividendos. Al mismo tiempo, vemos el número 14, con el que tenemos que seguir trabajando. Destacamos este número en la notación del dividendo.

Los siguientes puntos del segundo al cuarto se repiten cíclicamente hasta completar la división de los números naturales por una columna.

Ahora necesitamos determinar cuántas veces el divisor está contenido en el número con el que estamos trabajando (por conveniencia, denotaremos este número como x). Para ello multiplicamos secuencialmente el divisor por 0, 1, 2, 3,... hasta obtener el número x o un número mayor que x. Cuando se obtiene el número x, lo escribimos debajo del número resaltado de acuerdo con las reglas de registro utilizadas al restar números naturales en una columna. El número por el cual se realizó la multiplicación se escribe en lugar del cociente durante la primera pasada del algoritmo (en pasadas posteriores de 2 a 4 puntos del algoritmo, este número se escribe a la derecha de los números que ya están allí). Cuando obtenemos un número mayor que el número x, debajo del número resaltado escribimos el número obtenido en el penúltimo paso, y en lugar del cociente (o a la derecha de los números que ya están allí) escribimos el número por cual se realizó la multiplicación en el penúltimo paso. (Realizamos acciones similares en los dos ejemplos comentados anteriormente).

Multiplicamos el divisor 4 por los números 0, 1, 2,... hasta obtener un número que sea igual a 14 o mayor que 14. Tenemos 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14. Como en el último paso recibimos el número 16, que es mayor que 14, entonces debajo del número resaltado escribimos el número 12, que se obtuvo en el penúltimo paso, y en lugar del cociente escribimos el número 3, ya que en el penúltimo punto la multiplicación la realizó precisamente él.


En esta etapa, del número seleccionado, reste el número ubicado debajo usando una columna. El resultado de la resta se escribe debajo de la línea horizontal. Sin embargo, si el resultado de la resta es cero, entonces no es necesario escribirlo (a menos que la resta en ese punto sea la última acción que completa por completo el largo proceso de división). Aquí, para tu propio control, no estaría de más comparar el resultado de la resta con el divisor y asegurarte de que es menor que el divisor. De lo contrario, se cometió un error en alguna parte.

Necesitamos restar el número 12 del número 14 con una columna (para que la grabación sea correcta, debemos recordar poner un signo menos a la izquierda de los números que se restan). Después de completar esta acción, apareció el número 2 debajo de la línea horizontal. Ahora verificamos nuestros cálculos comparando el número resultante con el divisor. Dado que el número 2 es menor que el divisor 4, puedes pasar con seguridad al siguiente punto.


Ahora, debajo de la línea horizontal a la derecha de los números allí ubicados (o a la derecha del lugar donde no escribimos el cero), anotamos el número ubicado en la misma columna en la notación del dividendo. Si no hay números en el registro del dividendo en esta columna, entonces la división por columna termina ahí. Después de esto, seleccionamos el número formado debajo de la línea horizontal, lo aceptamos como número de trabajo y repetimos con él los puntos 2 a 4 del algoritmo.

Debajo de la línea horizontal a la derecha del número 2 que ya está, anotamos el número 0, ya que es el número 0 el que está en el registro del dividendo 140.288 en esta columna. Así, el número 20 se forma debajo de la línea horizontal.


Seleccionamos este número 20, lo tomamos como número de trabajo y repetimos con él las acciones del segundo, tercer y cuarto punto del algoritmo.

Multiplicamos el divisor 4 por 0, 1, 2,... hasta obtener el número 20 o un número mayor que 20. Tenemos 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Realizamos la resta en una columna. Dado que estamos restando números naturales iguales, en virtud de la propiedad de restar números naturales iguales, el resultado es cero. No anotamos el cero (ya que esta no es la etapa final de la división con columna), pero recordamos el lugar donde pudimos escribirlo (por conveniencia, marcaremos este lugar con un rectángulo negro).


Debajo de la línea horizontal a la derecha del lugar recordado anotamos el número 2, ya que es precisamente él el que está en el registro del dividendo 140.288 en esta columna. Así, debajo de la línea horizontal tenemos el número 2.


Tomamos el número 2 como número de trabajo, lo marcamos y una vez más tendremos que realizar las acciones de 2-4 puntos del algoritmo.

Multiplicamos el divisor por 0, 1, 2, etc., y comparamos los números resultantes con el número marcado 2. Tenemos 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Por lo tanto, debajo del número marcado escribimos el número 0 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente a la derecha del número que ya está allí escribimos el número 0 (multiplicamos por 0 en el penúltimo paso ).


Realizamos la resta en una columna, obtenemos el número 2 debajo de la línea horizontal. Nos comprobamos comparando el número resultante con el divisor 4. Desde 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Debajo de la línea horizontal a la derecha del número 2, agregue el número 8 (ya que está en esta columna en la entrada del dividendo 140 288). Así, el número 28 aparece debajo de la línea horizontal.


Tomamos este número como número de trabajo, lo marcamos y repetimos los pasos 2-4.

No debería haber ningún problema aquí si has tenido cuidado hasta ahora. Habiendo completado todos los pasos necesarios, se obtiene el siguiente resultado.

Solo queda realizar los pasos de los puntos 2, 3, 4 por última vez (te lo dejamos a ti), tras lo cual obtendrás una imagen completa de cómo dividir los números naturales 140,288 y 4 en una columna:

Tenga en cuenta que el número 0 está escrito en la línea inferior. Si este no fuera el último paso de la división por una columna (es decir, si en el registro del dividendo quedaran números en las columnas de la derecha), entonces no escribiríamos este cero.

Por lo tanto, al observar la división completa del número natural de varios dígitos 140,288 por el número natural de un solo dígito 4, vemos que el cociente es el número 35,072 (y el resto de la división es cero, está en la línea inferior ).

Por supuesto, al dividir números naturales por una columna, no describirás todas tus acciones con tanto detalle. Sus soluciones se parecerán a los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

Realiza una división larga si el dividendo es 7 136 y el divisor es un número natural de un solo dígito, 9.

Solución.

En el primer paso del algoritmo para dividir números naturales en columnas, obtenemos un registro de la forma

Después de realizar las acciones del segundo, tercer y cuarto punto del algoritmo, el registro de división de columnas tomará la forma

Repitiendo el ciclo tendremos

Una pasada más nos dará una imagen completa de la división en columnas de los números naturales 7.136 y 9.

Por tanto, el cociente parcial es 792 y el resto es 8.

Respuesta:

7 136:9=792 (rest. 8) .

Y este ejemplo demuestra cómo debería verse la división larga.

Ejemplo.

Divide el número natural 7.042.035 por el número natural de una sola cifra 7.

Solución.

La forma más conveniente de realizar la división es por columnas.

Respuesta:

7 042 035:7=1 006 005 .

División en columnas de números naturales de varios dígitos

Nos apresuramos a complacerlo: si domina completamente el algoritmo de división de columnas del párrafo anterior de este artículo, entonces casi ya sabe cómo realizarlo. división en columnas de números naturales de varios dígitos. Esto es cierto, ya que las etapas 2 a 4 del algoritmo permanecen sin cambios y solo aparecen cambios menores en el primer punto.

En la primera etapa de dividir números naturales de varios dígitos en una columna, no debe mirar el primer dígito de la izquierda en la notación del dividendo, sino el número de ellos igual al número de dígitos contenidos en la notación. del divisor. Si el número definido por estos números es mayor que el divisor, entonces en el siguiente párrafo tenemos que trabajar con este número. Si este número es menor que el divisor, entonces debemos agregar a la consideración el siguiente dígito a la izquierda en la notación del dividendo. Posteriormente se realizan las acciones especificadas en los puntos 2, 3 y 4 del algoritmo hasta obtener el resultado final.

Solo queda ver la aplicación del algoritmo de división de columnas para números naturales multivaluados en la práctica al resolver ejemplos.

Ejemplo.

Realicemos la división en columnas de los números naturales de varios dígitos 5562 y 206.

Solución.

Dado que el divisor 206 contiene 3 dígitos, nos fijamos en los primeros 3 dígitos de la izquierda en el dividendo 5.562. Estos números corresponden al número 556. Dado que 556 es mayor que el divisor 206, tomamos el número 556 como número de trabajo, lo seleccionamos y pasamos a la siguiente etapa del algoritmo.

Ahora multiplicamos el divisor 206 por los números 0, 1, 2, 3,... hasta obtener un número que sea igual a 556 o mayor que 556. Tenemos (si la multiplicación es difícil, entonces es mejor multiplicar números naturales en una columna): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Como recibimos un número mayor que el número 556, debajo del número resaltado escribimos el número 412 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente escribimos el número 2 (ya que lo multiplicamos por él). en el penúltimo paso). La entrada de división de columnas toma la siguiente forma:

Realizamos resta de columnas. Obtenemos la diferencia 144, este número es menor que el divisor, por lo que puedes continuar realizando las acciones requeridas de forma segura.

Debajo de la línea horizontal a la derecha del número escribimos el número 2, ya que está en el registro del dividendo 5562 en esta columna:

Ahora trabajamos con el número 1.442, lo seleccionamos y seguimos los pasos del dos al cuatro nuevamente.

Multiplica el divisor 206 por 0, 1, 2, 3,... hasta obtener el número 1442 o un número mayor que 1442. Vamos: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Realizamos la resta en una columna, obtenemos cero, pero no lo anotamos de inmediato, solo recordamos su posición, porque no sabemos si la división termina aquí o si tendremos que repetir. los pasos del algoritmo nuevamente:

Ahora vemos que no podemos escribir ningún número debajo de la línea horizontal a la derecha de la posición recordada, ya que no hay dígitos en el registro del dividendo en esta columna. Por lo tanto, esto completa la división por columna, y completamos la entrada:

• Matemáticas. Cualquier libro de texto para 1º, 2º, 3º y 4º grado de instituciones de educación general.
• Matemáticas. Cualquier libro de texto para quinto grado de instituciones de educación general.