Rješavanje složenijih trigonometrijskih jednačina. Osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo proučavati:
1. Šta su trigonometrijske jednačine?

3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Šta su trigonometrijske jednačine?

Ljudi, mi smo već proučavali arksin, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.

Ponovimo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1)Ako je |a|≤ 1, tada jednačina cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednačina tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednačina ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T je neka trigonometrijska funkcija.

Primjer.

Riješite jednačine: a) sin(3x)= √3/2

Rješenje:

A) Označimo 3x=t, onda ćemo našu jednačinu prepisati u obliku:

Rješenje ove jednačine će biti: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobijamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se na našu varijablu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n – minus jedan na stepen n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješite jednačine: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Rješenje:

A) Ovaj put idemo direktno na izračunavanje korijena jednadžbe odmah:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo ga u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednačine: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Rješenje:

Rešimo našu jednačinu u opštem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Kod k Pri k=0, x= π/16, nalazimo se u datom segmentu.
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, udaramo ponovo.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da za veliki k također očito nećemo pogoditi.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Pogledali smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, ali postoje i složenije. Za njihovo rješavanje koristi se metoda uvođenja nove varijable i metoda faktorizacije. Pogledajmo primjere.

Rešimo jednačinu:

Rješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristit ćemo metodu uvođenja nove varijable koja označava: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobijamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobijamo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu, hajde da nađemo njene korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rješenje:

Koristimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednačina će imati oblik: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Hajde da uvedemo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može uzeti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Definicija: Jednačine oblika a sin(x)+b cos(x) nazivaju se homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.

Jednačine oblika

homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena.

Da biste riješili homogenu trigonometrijsku jednačinu prvog stepena, podijelite je sa cos(x): Ne možete dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije slučaj:
Neka je cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobijamo kontradikciju, tako da možemo sigurno podijeliti po nuli.

Riješite jednačinu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rješenje:

Izvadimo zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednačine:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 na x= π/2 + πk;

Razmotrite jednačinu cos(x)+sin(x)=0 Podijelite našu jednačinu sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena?
Ljudi, uvek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je koeficijent a jednak, ako je a=0 onda će naša jednadžba dobiti oblik cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajdu

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti obje strane jednadžbe sa kosinusom na kvadrat, dobićemo:

Mijenjamo varijablu t=tg(x) i dobijamo jednačinu:

Riješi primjer br.:3

Riješite jednačinu:
Rješenje:

Podijelimo obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom:

Mijenjamo varijablu t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješi primjer br.:4

Riješite jednačinu:

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednačine: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješi primjer br.:5

Riješite jednačinu:

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Hajde da uvedemo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobijamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi za samostalno rješavanje.

1) Riješite jednačinu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednačine: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednačinu: krevetac 2 (x) + 2 krevetac (x) + 1 =0

4) Riješite jednačinu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednačinu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednačinu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednačine, linearne i kvadratne nejednačine, razlomke i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je ustanoviti koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očigledno je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom ovisi o tome koliko je točno određena vrsta jednačine koja se rješava, koliko je pravilno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.

Situacija je drugačija sa trigonometrijske jednačine. Nije nimalo teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.

Ponekad je teško odrediti njen tip na osnovu izgleda jednačine. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.

Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rješenje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna zamjena

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).

Korak 3. Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.

Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Rješenje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Dijagram rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.

Primjer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Rješenje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Rješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, što znači

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Dijagram rješenja

Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2. Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Rješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina je vrlo važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi stereometrije, fizike i dr. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stiču proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Nije tajna da uspjeh ili neuspjeh u procesu rješavanja gotovo svakog problema uglavnom zavisi od pravilnog određivanja tipa date jednadžbe, kao i od pravilnog reproduciranja slijeda svih faza njenog rješenja. Međutim, u slučaju trigonometrijskih jednadžbi, određivanje činjenice da je jednadžba trigonometrijska nije nimalo teško. Ali u procesu određivanja redoslijeda radnji koje bi nas trebale dovesti do tačnog odgovora možemo naići na određene poteškoće. Hajde da shvatimo kako pravilno riješiti trigonometrijske jednadžbe od samog početka.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi

Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, morate isprobati sljedeće točke:

Sve funkcije koje su uključene u našu jednadžbu svodimo na “identične uglove”;
Zadatu jednačinu potrebno je dovesti na „identične funkcije“;
Lijevu stranu date jednadžbe razlažemo na faktore ili druge potrebne komponente.

Metode

Metoda 1. Takve jednačine se moraju rješavati u dvije faze. Prvo transformiramo jednačinu kako bismo dobili njen najjednostavniji (pojednostavljeni) oblik. Jednadžba: Cosx = a, Sinx = a i slične se nazivaju najjednostavnijim trigonometrijskim jednadžbama. Druga faza je rješavanje najjednostavnije dobivene jednačine. Treba napomenuti da se najjednostavnija jednačina može riješiti algebarskom metodom, koja nam je dobro poznata iz školskog kursa algebre. Naziva se i metodom zamjene i zamjene varijabli. Koristeći formule redukcije, prvo trebate transformirati, zatim izvršiti zamjenu, a zatim pronaći korijene.

Zatim, trebamo faktorizirati našu jednačinu u moguće faktore; da bismo to učinili, moramo pomaknuti sve članove ulijevo i onda to možemo faktorisati. Sada moramo ovu jednačinu dovesti do homogene, u kojoj su svi članovi jednaki u istom stepenu, a kosinus i sinus imaju isti ugao.

Prije rješavanja trigonometrijskih jednadžbi, potrebno je pomjeriti njene članove na lijevu stranu, uzimajući ih s desne strane, a zatim sve zajedničke nazivnike staviti iz zagrada. Izjednačavamo naše zagrade i faktore sa nulom. Naše izjednačene zagrade predstavljaju homogenu jednačinu sa redukovanim stepenom, koji se mora podijeliti sa sin (cos) do najvišeg stepena. Sada rješavamo algebarsku jednačinu koja je dobijena u odnosu na tan.

Metoda 2. Druga metoda kojom možete riješiti trigonometrijsku jednačinu je prelazak na polovični ugao. Na primjer, rješavamo jednačinu: 3sinx-5cosx=7.

Moramo ići na polovični ugao, u našem slučaju to je: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2). I nakon toga sve članove svedemo u jedan dio (zbog pogodnosti, bolje je izabrati pravi) i nastavljamo rješavati jednačinu.

Ako je potrebno, možete unijeti pomoćni ugao. To se radi u slučaju kada trebate zamijeniti cjelobrojnu vrijednost sin (a) ili cos (a), a znak "a" služi samo kao pomoćni ugao.

Proizvod za sumiranje

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe koristeći proizvod za zbrajanje? Metoda poznata kao konverzija proizvoda u zbir također se može koristiti za rješavanje takvih jednačina. U ovom slučaju potrebno je koristiti formule koje odgovaraju jednadžbi.

Na primjer, imamo jednačinu: 2sinx * sin3x= sos4x

Ovaj problem moramo riješiti pretvaranjem lijeve strane u zbir, i to:

sos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Ako gore navedene metode nisu prikladne, a još uvijek ne znate kako riješiti jednostavne trigonometrijske jednadžbe, možete koristiti drugu metodu - univerzalnu supstituciju. Može se koristiti za transformaciju izraza i za zamjenu. Na primjer: Cos(x/2)=u. Sada možete riješiti jednačinu sa postojećim parametrom u. I nakon što ste dobili željeni rezultat, ne zaboravite ovu vrijednost pretvoriti u suprotnu.

Mnogi „iskusni“ studenti savjetuju da zamolite ljude da rješavaju jednačine na mreži. Pitate se kako riješiti trigonometrijsku jednačinu na mreži. Da biste riješili problem na mreži, možete otići na forume o relevantnim temama, gdje vam mogu pomoći savjetom ili u rješavanju problema. Ali najbolje je pokušati to učiniti sami.

Vještine i sposobnosti rješavanja trigonometrijskih jednačina su veoma važne i korisne. Njihov razvoj će od vas zahtijevati znatan trud. Mnogi problemi iz fizike, stereometrije, itd. povezani su sa rješavanjem takvih jednačina. A sam proces rješavanja takvih problema pretpostavlja prisustvo vještina i znanja koja se mogu steći proučavajući elemente trigonometrije.

Učenje trigonometrijskih formula

U procesu rješavanja jednadžbe možete naići na potrebu korištenja bilo koje formule iz trigonometrije. Možete ga, naravno, početi tražiti u svojim udžbenicima i varalicama. A ako su ove formule pohranjene u vašoj glavi, ne samo da ćete uštedjeti svoje živce, već ćete i znatno olakšati svoj zadatak, bez gubljenja vremena na traženje potrebnih informacija. Tako ćete imati priliku da razmislite o najracionalnijem načinu rješavanja problema.

Ponekad je teško odrediti njen tip na osnovu izgleda jednačine. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.

Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rješenje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna zamjena

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).

Korak 3. Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.

Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Rješenje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Dijagram rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.

Primjer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Rješenje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Rješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, što znači

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Dijagram rješenja

Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2. Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Rješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina je vrlo važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!

Jednakost koja sadrži nepoznatu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinus:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.

Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.

Algebarska metoda.

Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje treba riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prelazak na pola ugla

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`grijeh (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.