Най-простите тригонометрични уравнения и тяхното решение. Решаване на прости тригонометрични уравнения

Най-простите тригонометрични уравнения се решават, като правило, с помощта на формули. Нека ви напомня, че най-простите тригонометрични уравнения са:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

x е ъгълът, който трябва да се намери,
a е произволно число.

А ето и формулите, с които можете веднага да запишете решенията на тези най-прости уравнения.

За синус:

За косинус:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

За допирателната:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

За котангенс:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Всъщност това е теоретичната част от решаването на най-простото тригонометрични уравнения. Освен това всичко!) Изобщо нищо. Въпреки това, броят на грешките по тази тема е просто извън класациите. Особено ако примерът леко се отклонява от шаблона. Защо?

Да, защото много хора пишат тези писма, без изобщо да разбират значението им!Пише предпазливо, да не би да стане нещо...) Това трябва да се изясни. Тригонометрия за хората или все пак хора за тригонометрията!?)

Да го разберем?

Един ъгъл ще бъде равен на arccos a, второ: -arccos a.

И винаги ще се получава по този начин.За всякакви А.

Ако не ми вярвате, задръжте курсора на мишката върху снимката или докоснете снимката на таблета си.) Промених номера А към нещо негативно. Както и да е, имаме един ъгъл arccos a, второ: -arccos a.

Следователно отговорът винаги може да бъде записан като две серии от корени:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Нека комбинираме тези две серии в една:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

И това е всичко. Получихме обща формула за решаване на най-простото тригонометрично уравнение с косинус.

Ако разбирате, че това не е някаква свръхнаучна мъдрост, а просто съкратена версия на две серии от отговори,Ще можете да се справите и със задачи „C“. С неравенства, с избиране на корени от даден интервал... Там отговорът с плюс/минус не работи. Но ако се отнасяте към отговора по делови начин и го разделите на два отделни отговора, всичко ще бъде разрешено.) Всъщност, затова го разглеждаме. Какво, как и къде.

В най-простото тригонометрично уравнение

sinx = а

ние също получаваме две серии от корени. Винаги. И тези две серии също могат да бъдат записани в един ред. Само този ред ще бъде по-сложен:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но същността си остава същата. Математиците просто създадоха формула, за да направят един вместо два записа за поредица от корени. Това е всичко!

Да проверим математиците? И никога не се знае...)

В предишния урок беше обсъдено подробно решението (без никакви формули) на тригонометрично уравнение със синус:

Отговорът доведе до две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ако решим същото уравнение с помощта на формулата, получаваме отговора:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Всъщност това е недовършен отговор.) Ученикът трябва да знае това arcsin 0,5 = π /6.Пълният отговор би бил:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Тук възниква интерес Питай. Отговорете чрез x 1; х 2 (това е верният отговор!) и чрез самотен х (и това е верният отговор!) - едно и също нещо ли са или не? Сега ще разберем.)

Заменяме в отговора с х 1 стойности н =0; 1; 2; и т.н., броим, получаваме поредица от корени:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и така нататък.

Със същата замяна в отговор с х 2 , получаваме:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и така нататък.

Сега нека заместим стойностите н (0; 1; 2; 3; 4...) в общата формула за единичен х . Тоест, повдигаме минус едно на нулева степен, след това на първа, втора и т.н. Е, разбира се, заместваме 0 във втория член; 1; 2 3; 4 и т.н. И ние броим. Получаваме серията:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и така нататък.

Това е всичко, което можете да видите.) Обща формуладава ни абсолютно същите резултатикакто и двата отговора поотделно. Просто всичко наведнъж, подредено. Математиците не бяха заблудени.)

Могат да се проверят и формули за решаване на тригонометрични уравнения с тангенс и котангенс. Но ние няма.) Те вече са прости.

Изписах специално цялата тази замяна и проверка. Тук е важно да разберете едно просто нещо: има формули за решаване на елементарни тригонометрични уравнения, само кратко резюме на отговорите.За тази краткост трябваше да вмъкнем плюс/минус в решението за косинус и (-1) n в решението за синус.

Тези вложки не пречат по никакъв начин в задачи, в които просто трябва да запишете отговора на елементарно уравнение. Но ако трябва да разрешите неравенство или тогава трябва да направите нещо с отговора: изберете корени на интервал, проверете за ODZ и т.н., тези вмъквания могат лесно да обезпокоят човек.

И така, какво трябва да направя? Да, или напишете отговора в две серии, или решете уравнението/неравенството с помощта на тригонометричната окръжност. Тогава тези вмъквания изчезват и животът става по-лесен.)

Можем да обобщим.

За решаване на най-простите тригонометрични уравнения има готови формули за отговор. Четири броя. Те са добри за незабавно записване на решението на уравнение. Например, трябва да решите уравненията:

sinx = 0,3

Лесно: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Няма проблем: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Лесно: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Остава един: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ако вие, блестящи със знания, незабавно напишете отговора:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

тогава вече светиш, това... онова... от локва.) Верен отговор: няма решения. не разбирам защо? Прочетете какво е аркосинус. Освен това, ако от дясната страна на оригиналното уравнение има таблични стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и така нататък. - отговорът през арките ще бъде недовършен. Арките трябва да се преобразуват в радиани.

И ако срещнете неравенство, например

тогава отговорът е:

x πn, n ∈ Z

има редки глупости, да...) Тук трябва да решите с помощта на тригонометричната окръжност. Какво ще правим в съответната тема.

За тези, които героично четат тези редове. Просто не мога да не оценя титаничните ви усилия. Бонус за вас.)

Бонус:

Когато записват формули в тревожна бойна ситуация, дори опитни маниаци често се объркват къде πn, И къде 2π n. Ето един прост трик за вас. в всекиформули на стойност πn. С изключение на единствената формула с аркосинус. Стои там 2πn. двепеен. Ключова дума - две.В същата тази формула има двезнак в началото. Плюс и минус. Тук-там - две.

Така че, ако сте писали двезнак преди аркосинуса, по-лесно е да запомните какво ще се случи накрая двепеен. И обратното се случва. Човекът ще пропусне знака ± , стига до края, пише правилно две Pien, и той ще дойде на себе си. Има нещо напред двезнак! Човекът ще се върне в началото и ще поправи грешката! Като този.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Как се решават тригонометрични уравнения:

Всяко тригонометрично уравнение трябва да бъде сведено до един от следните типове:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

където \(t\) е израз с x, \(a\) е число. Такива тригонометрични уравнения се наричат най-простият. Те могат лесно да бъдат решени с помощта на () или специални формули:

Отговор: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Какво означава всеки символ във формулата за корените на тригонометричните уравнения, вижте.

внимание!Уравненията \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) нямат решения, ако \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Тъй като синус и косинус за всеки x са по-големи или равни на \(-1\) и по-малки или равни на \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Пример . Решете уравнението \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Отговор : няма решения.

Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Решение:

Намаляването на тригонометричните уравнения до най-простите е творческа задача, тук трябва да използвате и двете специални методи за решаване на уравнения:
- Метод (най-популярният в Единния държавен изпит).
- Метод.
- Метод на спомагателните аргументи.

Нека разгледаме пример за решаване на квадратно тригонометрично уравнение

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Нека направим замяната \(t=\cos⁡x\).
	Нашето уравнение стана типично. Можете да го разрешите с помощта на.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Правим обратна замяна.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Решаваме първото уравнение с помощта на числовата окръжност. Второто уравнение няма решения, защото \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и не може да бъде равно на две за всяко x.
	Нека напишем всички числа, лежащи в тези точки.

Пример за решаване на тригонометрично уравнение с изследване на ODZ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Има дроб и има котангенс - това означава, че трябва да го запишем. Нека ви напомня, че котангенсът всъщност е дроб: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Следователно ODZ за ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Нека отбележим „нерешенията“ върху числовата окръжност.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Нека се отървем от знаменателя в уравнението, като го умножим по ctg\(x\). Можем да направим това, тъй като по-горе написахме, че ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Нека приложим формулата за двоен ъгъл за синус: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ако ръцете ви се протегнат, за да разделите на косинус, дръпнете ги назад! Можете да разделите на израз с променлива, ако тя определено не е равна на нула (например тези: \(x^2+1.5^x\)). Вместо това, нека поставим \(\cos⁡x\) извън скоби.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Нека "разделим" уравнението на две.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Нека решим първото уравнение с помощта на числовата окръжност. Разделете второто уравнение на \(2\) и преместете \(\sin⁡x\) в дясната страна.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Получените корени не се включват в ОДЗ. Затова няма да ги запишем в отговор. Второто уравнение е типично. Нека го разделим на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не може да бъде решение на уравнението, защото в този случай \(\cos⁡x=1\) или \(\cos⁡ x=-1\)).
	Отново използваме кръг.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Тези корени не са изключени от ODZ, така че можете да ги напишете в отговора.

При решаване на мн математически задачи, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът за успешно решаване на всеки от споменатите проблеми е следният: трябва да установите какъв тип проблем решавате, да запомните необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно е, че успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Ситуацията е различна при тригонометрични уравнения.Не е никак трудно да се установи, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.

Понякога е трудно да се определи неговият тип въз основа на появата на уравнение. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решите тригонометрично уравнение, трябва да опитате:

1. привеждане на всички функции, включени в уравнението, до „едни и същи ъгли“;
2. приведете уравнението към „еднакви функции”;
3. множете лявата страна на уравнението и т.н.

Нека помислим основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Диаграма на решението

Етап 1.Изразете тригонометрична функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2.Намерете аргумента на функцията, като използвате формулите:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен х = а; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3.Намерете неизвестната променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Променлива замяна

Диаграма на решението

Етап 1.Редуцирайте уравнението до алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2.Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).

Стъпка 3.Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4.Направете обратна замяна.

Стъпка 5.Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2, не отговаря на условието |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за намаляване на реда на уравнението

Диаграма на решението

Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулата за намаляване на степента:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Диаграма на решението

Етап 1.Редуцирайте това уравнение до формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2.Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получете уравнението за tan x:

а) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Стъпка 3.Решете уравнението с известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, което означава

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули

Диаграма на решението

Етап 1.Използвайки всички възможни тригонометрични формули, редуцирайте това уравнение до уравнение, решено с методи I, II, III, IV.

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и умението за решаване на тригонометрични уравнения е много важно, тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

Много проблеми на стереометрията, физиката и т.н. са свързани с решаването на такива задачи, въплъщаващи много от знанията и уменията, които се придобиват чрез изучаване на елементите на тригонометрията.

Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучение по математика и личностното развитие като цяло.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Решаване на прости тригонометрични уравнения.

Решаването на тригонометрични уравнения с всякакво ниво на сложност в крайна сметка се свежда до решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И в това тригонометричният кръг отново се оказва най-добрият помощник.

Нека си припомним дефинициите на косинус и синус.

Косинусът на ъгъл е абсцисата (тоест координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.

Синусът на ъгъл е ординатата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.

Положителната посока на движение върху тригонометричния кръг е обратно на часовниковата стрелка. Завъртане от 0 градуса (или 0 радиана) съответства на точка с координати (1;0)

Използваме тези определения за решаване на прости тригонометрични уравнения.

1. Решете уравнението

Това уравнение се удовлетворява от всички стойности на ъгъла на завъртане, които съответстват на точки от окръжността, чиято ордината е равна на .

Нека отбележим точка с ордината върху ординатната ос:

Начертайте хоризонтална линия, успоредна на оста x, докато се пресече с кръга. Получаваме две точки, лежащи на окръжността и имащи ордината. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани:

Ако, излизайки от точката, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан, обиколим цял кръг, тогава ще стигнем до точка, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан и имаща същата ордината. Тоест, този ъгъл на завъртане също удовлетворява нашето уравнение. Можем да направим толкова „неактивни“ обороти, колкото желаем, връщайки се към същата точка и всички тези ъглови стойности ще задоволят нашето уравнение. Броят на оборотите на празен ход ще бъде обозначен с буквата (или). Тъй като можем да направим тези революции както в положителна, така и в отрицателна посока, (или) можем да приемем всякакви цели числа.

Тоест, първата серия от решения на оригиналното уравнение има формата:

, , - набор от цели числа (1)

По същия начин втората серия от решения има формата:

, Където , . (2)

Както може би се досещате, тази поредица от решения се основава на точката от окръжността, съответстваща на ъгъла на въртене от .

Тези две серии от решения могат да бъдат комбинирани в един запис:

Ако вземем (т.е. дори) в този запис, тогава ще получим първата серия от решения.

Ако вземем (т.е. нечетно) в този запис, тогава получаваме втората серия от решения.

2. Сега нека решим уравнението

Тъй като това е абсцисата на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на ъгъл, отбелязваме точката с абсцисата на оста:

Начертайте вертикална линия, успоредна на оста, докато се пресече с кръга. Ще получим две точки, лежащи на окръжността и имащи абциса. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани. Спомнете си, че при движение по посока на часовниковата стрелка получаваме отрицателен ъгъл на въртене:

Нека запишем две серии от решения:

,

,

(Стигаме до желаната точка, като тръгнем от основния пълен кръг, т.е.

Нека комбинираме тези две серии в един запис:

3. Решете уравнението

Допирателната минава през точката с координати (1,0) на единичната окръжност, успоредна на оста OY

Нека отбележим точка върху него с ордината равна на 1 (търсим тангенса на кои ъгли е равна на 1):

Нека свържем тази точка с началото на координатите с права линия и маркираме точките на пресичане на правата с единичната окръжност. Пресечните точки на правата и окръжността съответстват на ъглите на завъртане на и:

Тъй като точките, съответстващи на ъглите на въртене, които удовлетворяват нашето уравнение, лежат на разстояние от радиани една от друга, можем да запишем решението по следния начин:

4. Решете уравнението

Правата на котангенсите минава през точката с координати на единичната окръжност, успоредна на оста.

Нека отбележим точка с абсцисата -1 на правата на котангенсите:

Нека свържем тази точка с началото на правата линия и я продължим, докато се пресече с окръжността. Тази права линия ще пресича окръжността в точки, съответстващи на ъглите на въртене в и радиани:

Тъй като тези точки са разделени една от друга на разстояние, равно на , можем да напишем общото решение на това уравнение, както следва:

В дадените примери, илюстриращи решението на най-простите тригонометрични уравнения, са използвани таблични стойности на тригонометрични функции.

Ако обаче дясната страна на уравнението съдържа нетаблична стойност, тогава заместваме стойността в общото решение на уравнението:

СПЕЦИАЛНИ РЕШЕНИЯ:

Нека отбележим точките на окръжността, чиято ордината е 0:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е 1:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е равна на -1:

Тъй като е обичайно да се посочват стойности, най-близки до нула, ние записваме решението, както следва:

Нека отбележим точките на окръжността, чиято абциса е равна на 0:

5.
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на 1:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на -1:

И малко по-сложни примери:

1.

Синусът е равен на едно, ако аргументът е равен на

Аргументът на нашия синус е равен, така че получаваме:

Нека разделим двете страни на равенството на 3:

Отговор:

2.

Косинусът е нула, ако аргументът косинус е равен

Аргументът на нашия косинус е равен на , така че получаваме:

Нека изразим , за да направим това, първо се преместваме надясно с противоположния знак:

Нека опростим дясната страна:

Разделете двете страни на -2:

Обърнете внимание, че знакът пред члена не се променя, тъй като k може да приеме произволна цяло число.

Отговор:

И накрая, гледайте видео урока „Избиране на корени в тригонометрично уравнение с помощта на тригонометрична окръжност“

Това приключва нашия разговор за решаването на прости тригонометрични уравнения. Следващият път ще говорим как да решим.

Урок и презентация на тема: "Решаване на прости тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Какво представляват тригонометричните уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Хомогенни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво представляват тригонометричните уравнения?

Момчета, вече изучихме аркуссинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. Сега нека разгледаме тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометричните уравнения са уравнения, в които променлива се съдържа под знака на тригонометрична функция.

Нека повторим формата за решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

1) Ако |a|≤ 1, тогава уравнението cos(x) = a има решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ако |a|≤ 1, тогава уравнението sin(x) = a има решение:

3) Ако |a| > 1, тогава уравнението sin(x) = a и cos(x) = a няма решения 4) Уравнението tg(x)=a има решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнението ctg(x)=a има решение: x=arcctg(a)+ πk

За всички формули k е цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения имат формата: T(kx+m)=a, T е някаква тригонометрична функция.

Решете уравненията: а) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Нека означим 3x=t, тогава ще пренапишем нашето уравнение във формата:

Решението на това уравнение ще бъде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

От таблицата със стойности получаваме: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Нека се върнем към нашата променлива: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогава x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Отговор: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, където n е цяло число. (-1)^n – минус едно на степен n.

Още примери за тригонометрични уравнения.

Решение:

A) Този път нека веднага да преминем директно към изчисляването на корените на уравнението:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогава x/5= πk => x=5πk

Отговор: x=5πk, където k е цяло число.

B) Записваме го във формата: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Знаем, че: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Отговор: x=2π/9 + πk/3, където k е цяло число.

Решете уравненията: cos(4x)= √2/2. И намерете всички корени на сегмента.

Решение:

Ще решим в общ изгледнашето уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Сега нека видим какви корени падат върху нашия сегмент. При k При k=0, x= π/16, ние сме в дадения сегмент.
С k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, уцелваме отново.
За k=2, x= π/16+ π=17π/16, но тук не уцелихме, което означава, че за голямо k също очевидно няма да уцелим.

Отговор: x= π/16, x= 9π/16

Два основни метода за решение.

Нека решим уравнението:

Решение:
За да решим нашето уравнение, ще използваме метода за въвеждане на нова променлива, обозначаваща: t=tg(x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 = 0

Да намерим корените квадратно уравнение: t=-1 и t=1/3

Тогава tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получаваме най-простото тригонометрично уравнение, нека намерим неговите корени.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Отговор: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример за решаване на уравнение

Решете уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Нека използваме идентичността: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Нашето уравнение ще приеме формата: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Нека въведем замяната t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение е корените: t=2 и t=-1/2

Тогава cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

защото косинус не може да приема стойности, по-големи от едно, тогава cos(x)=2 няма корени.

За cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Отговор: x= ±2π/3 + 2πk

Хомогенни тригонометрични уравнения.

Уравнения на формата

хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен.

За да решите хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен, разделете го на cos(x): Не можете да разделите на косинуса, ако е равен на нула, нека се уверим, че това не е така:
Нека cos(x)=0, тогава asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус не са равни на нула едновременно, получаваме противоречие, така че можем безопасно да разделим с нула.

Решете уравнението:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Нека извадим общия множител: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

След това трябва да решим две уравнения:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Разгледайте уравнението cos(x)+sin(x)=0 Разделете нашето уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Отговор: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как се решават хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен?
Момчета, винаги спазвайте тези правила!

1. Вижте на какво е равен коефициентът a, ако a=0, тогава нашето уравнение ще приеме формата cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример за чието решение е на предишния слайд

2. Ако a≠0, тогава трябва да разделите двете страни на уравнението на косинуса на квадрат, получаваме:

Променяме променливата t=tg(x) и получаваме уравнението:

Решете пример №:3

Нека разделим двете страни на уравнението на косинус квадрат:

Променяме променливата t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Нека намерим корените на квадратното уравнение: t=-3 и t=1

Тогава: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Отговор: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решете пример No:4

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Можем да решим такива уравнения: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Отговор: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решете пример №:5

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Нека въведем замяната tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение ще бъдат корените: t=-2 и t=1/2

Тогава получаваме: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Отговор: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи за самостоятелно решаване.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Решете уравненията: sin(3x)= √3/2. И намерете всички корени на отсечката [π/2; π].

3) Решете уравнението: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Решете уравнението: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решете уравнението: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Решете уравнението: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)