Площ на равнобедрен трапец, ако са известни всички страни. Площ на трапец: как да се изчисли, формула

Инструкции

За да направим двата метода по-разбираеми, можем да дадем няколко примера.

Пример 1: дължината на средната линия на трапеца е 10 cm, площта му е 100 cm². За да намерите височината на този трапец, трябва да направите:

h = 100/10 = 10 см

Отговор: височината на този трапец е 10 см

Пример 2: площта на трапеца е 100 см², дължините на основите са 8 см и 12 см. За да намерите височината на този трапец, трябва да извършите следното действие:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Отговор: височината на този трапец е 20 см

Забележка

Има няколко вида трапец:
Равнобедрен трапец е трапец, в който страните са равни една на друга.
Правоъгълен трапец е трапец, в който един от вътрешни ъглиравен на 90 градуса.
Заслужава да се отбележи, че в правоъгълен трапецвисочината съвпада с дължината на страната при прав ъгъл.
Можете да начертаете кръг около трапец или да го поставите в дадена фигура. Можете да впишете окръжност само ако сборът от нейните основи е равен на сбора от противоположните й страни. Кръг може да се опише само наоколо равнобедрен трапец.

Полезен съвет

Успоредникът е специален случай на трапец, тъй като определението за трапец по никакъв начин не противоречи на определението за успоредник. Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни една на друга. За трапец дефиницията се отнася само за чифт страни. Следователно всеки успоредник също е трапец. Обратното твърдение не е вярно.

източници:

• как да намерите площта на формула за трапец

Съвет 2: Как да намерите височината на трапец, ако площта е известна

Трапецът е четириъгълник, в който две от четирите му страни са успоредни една на друга. Успоредните страни са основите на дадената, другите две са страничните страни на дадената. трапецовидни. намирам височина трапецовидни, ако е известно квадрат, ще бъде много лесно.

Инструкции

Трябва да разберете как да изчислявате квадраторигинален трапецовидни. Има няколко формули за това, в зависимост от първоначалните данни: S = ((a+b)*h)/2, където a и b са бази трапецовидни, а h е неговата височина (Височина трапецовидни- перпендикулярна, спусната от една основа трапецовиднина друг);
S = m*h, където m е линия трапецовидни(Средната линия е сегмент с основи трапецовиднии свързване на средните точки на страните му).

За да стане по-ясно, подобни задачи могат да бъдат разгледани: Пример 1: Даден е трапец с квадрат 68 cm², чиято средна линия е 8 cm, трябва да намерите височинададено трапецовидни. За да разрешите този проблем, трябва да използвате получената по-рано формула:
h = 68/8 = 8,5 cm Отговор: височината на това трапецовидние 8,5 см. Пример 2: Нека y трапецовидни квадратсе равнява на 120 cm², дължината на основите на това трапецовидни 8 см и 12 см съответно, трябва да намерите височинатова трапецовидни. За да направите това, трябва да приложите една от получените формули:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmОтговор: дадена височина трапецовидниравно на 12 см

Видео по темата

Забележка

Всеки трапец има редица свойства:

Средната линия на трапец е равна на половината от сбора на неговите основи;

Сегментът, който свързва диагоналите на трапец, е равен на половината от разликата на неговите основи;

Ако се начертае права линия през средните точки на основите, тогава тя ще пресече точката на пресичане на диагоналите на трапеца;

В трапец може да се впише окръжност, ако сборът от основите на трапеца е равен на сбора от страните му.

Използвайте тези свойства, когато решавате проблеми.

Съвет 3: Как да намерите площта на трапец, ако основите са известни

По геометрична дефиниция трапецът е четириъгълник само с една двойка успоредни страни. Тези страни са нейни причини. Разстояние между причининаречена височина трапецовидни. намирам квадрат трапецовиднивъзможно използване геометрични формули.

Инструкции

Измерете основите и трапецовидни ABCD. Обикновено те се дават в задачи. Нека влезе в този примерпроблеми фондация AD (a) трапецовиднище бъде равна на 10 cm, основа BC (b) - 6 cm, вис трапецовидни BK (h) - 8 cm Използвайте геометрични, за да намерите площ трапецовидни, ако са известни дължините на неговите основи и височини - S= 1/2 (a+b)*h, където: - a - размерът на основата AD трапецовидни ABCD, - b - стойността на основата BC, - h - стойността на височината BK.

Площ на трапец. Поздравления! В тази публикация ще разгледаме тази формула. Защо е точно такава и как да я разберем. Ако има разбиране, тогава не е нужно да го преподавате. Ако просто искате да разгледате тази формула и спешно, тогава можете веднага да превъртите страницата надолу))

Сега подробно и по ред.

Трапецът е четириъгълник, две страни на този четириъгълник са успоредни, другите две не са. Тези, които не са успоредни, са основите на трапеца. Другите две се наричат ​​страни.

Ако страните са равни, тогава трапецът се нарича равнобедрен. Ако една от страните е перпендикулярна на основите, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен.

В класическата си форма трапецът се изобразява по следния начин - по-голямата основа е отдолу, съответно по-малката е отгоре. Но никой не забранява да я изобразява и обратното. Ето и скиците:

Следващата важна концепция.

Средната линия на трапец е сегмент, който свързва средните точки на страните. Средната линия е успоредна на основите на трапеца и е равна на тяхната полусума.

Сега нека се задълбочим. защо е така

Помислете за трапец с основи а и би със средната линия ли изпълнете някои допълнителни конструкции: начертайте прави линии през основите и перпендикуляри през краищата на средната линия, докато се пресекат с основите:

*Буквените обозначения за върхове и други точки не са включени умишлено, за да се избегнат ненужни обозначения.

Вижте, триъгълници 1 и 2 са равни според втория знак за равенство на триъгълници, триъгълници 3 и 4 са еднакви. От равенството на триъгълниците следва равенството на елементите, а именно краката (те са обозначени съответно в синьо и червено).

Сега внимание! Ако мислено „отрежем“ синия и червения сегмент от долната основа, тогава ще остане сегмент (това е страната на правоъгълника), равен на средната линия. След това, ако „залепим“ изрязаните сини и червени сегменти към горната основа на трапеца, тогава ще получим и сегмент (това също е страната на правоъгълника), равен на средната линия на трапеца.

Схванах го? Оказва се, че сборът от основите ще бъде равен на двете средни линии на трапеца:

Вижте друго обяснение

Нека направим следното - построим права линия, минаваща през долната основа на трапеца и права, която ще минава през точки A и B:

Получаваме триъгълници 1 и 2, те са равни по страната и прилежащите ъгли (вторият знак за равенство на триъгълниците). Това означава, че полученият сегмент (на скицата е посочен в синьо) е равен на горната основа на трапеца.

Сега разгледайте триъгълника:

*Средната линия на този трапец и средната линия на триъгълника съвпадат.

Известно е, че триъгълникът е равен на половината от успоредната му основа, т.е.

Добре, разбрахме го. Сега за площта на трапеца.

Формула за площ на трапец:

Те казват: площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина.

Тоест, оказва се, че е равно на произведението на централната линия и височината:

Вероятно вече сте забелязали, че това е очевидно. Геометрично това може да се изрази по следния начин: ако мислено отрежем триъгълници 2 и 4 от трапеца и ги поставим съответно на триъгълници 1 и 3:

Тогава ще получим правоъгълник с площ, равна на площта на нашия трапец. Площта на този правоъгълник ще бъде равна на произведението на централната линия и височината, тоест можем да напишем:

Но въпросът тук не е в писането, разбира се, а в разбирането.

Изтеглете (разгледайте) материалите на статията във формат *pdf

Това е всичко. Късмет!

С уважение Александър.

За да се чувствате уверени и успешно да решавате задачи в уроците по геометрия, не е достатъчно да научите формулите. Те първо трябва да бъдат разбрани. Да се ​​страхуваш и още повече да мразиш формулите е непродуктивно. Тази статия ще анализира на достъпен език различни начиниНамиране на площта на трапец. За да разберем по-добре съответните правила и теореми, ще обърнем малко внимание на неговите свойства. Това ще ви помогне да разберете как работят правилата и в какви случаи трябва да се прилагат определени формули.

Определяне на трапец

Каква фигура е това като цяло? Трапецът е многоъгълник с четири ъгъла и две успоредни страни. Другите две страни на трапеца могат да бъдат наклонени към различни ъгли. Неговите успоредни страни се наричат ​​основи, а за неуспоредни страни се използва наименованието „страни” или „бедра”. Такива фигури са доста често срещани в ежедневието. Контурите на трапеца могат да се видят в силуетите на дрехи, предмети от интериора, мебели, съдове и много други. Трапец се случва различни видове: мащабен, равностранен и правоъгълен. Ще разгледаме техните видове и свойства по-подробно по-късно в статията.

Свойства на трапец

Нека се спрем накратко на свойствата на тази фигура. Сборът от ъглите, съседни на всяка страна, винаги е 180°. Трябва да се отбележи, че сумата от всички ъгли на трапеца е 360°. Трапецът има концепцията за средна линия. Ако свържете средните точки на страните със сегмент, това ще бъде средната линия. Означава се m. Средната линия има важни свойства: тя винаги е успоредна на основите (помним, че основите също са успоредни една на друга) и е равна на тяхната полусума:

Това определение трябва да се научи и разбере, защото то е ключът към решаването на много проблеми!

С трапец винаги можете да свалите височината до основата. Надморска височина е перпендикуляр, често означаван със символа h, който е изтеглен от всяка точка на една основа към друга основа или нейно продължение. Средната линия и височината ще ви помогнат да намерите площта на трапеца. Такива задачи са най-често срещаните в училищен курсгеометрия и редовно се появяват сред тестовите и изпитните работи.

Най-простите формули за площта на трапец

Нека да разгледаме двете най-популярни и прости формули, с помощта на които се намира площта на трапец. Достатъчно е да умножите височината по половината от сумата на основите, за да намерите лесно това, което търсите:

S = h*(a + b)/2.

В тази формула a, b означават основите на трапеца, h - височината. За по-лесно възприемане в тази статия знаците за умножение са маркирани със символ (*) във формулите, въпреки че в официалните справочници знакът за умножение обикновено се пропуска.

Нека разгледаме един пример.

Дадено е: трапец с две основи равни на 10 и 14 см, височината е 7 см. Каква е площта на трапеца?

Нека разгледаме решението на този проблем. Използвайки тази формула, първо трябва да намерите полусумата на основите: (10+14)/2 = 12. Така че полусумата е равна на 12 см. Сега умножаваме полусумата по височината: 12*7 = 84. Това, което търсим, е намерено. Отговор: Площта на трапеца е 84 квадратни метра. см.

Втората добре позната формула гласи: площта на трапеца е равна на произведението на средната линия и височината на трапеца. Тоест всъщност следва от предишната концепция за средната линия: S=m*h.

Използване на диагонали за изчисления

Друг начин да намерите площта на трапец всъщност не е толкова сложен. Той е свързан с неговите диагонали. Използвайки тази формула, за да намерите площта, трябва да умножите полупродукта на нейните диагонали (d 1 d 2) по синуса на ъгъла между тях:

S = ½ d 1 d 2 sin а.

Нека разгледаме една задача, която показва приложението на този метод. Дадено е: трапец с дължина на диагоналите съответно 8 и 13 cm. Ъгълът a между диагоналите е 30°. Намерете площта на трапеца.

Решение. С помощта на горната формула е лесно да се изчисли какво е необходимо. Както знаете, sin 30° е 0,5. Следователно S = 8*13*0,5=52. Отговор: площта е 52 квадратни метра. см.

Намиране на площта на равнобедрен трапец

Трапецът може да бъде равнобедрен (равнобедрен). Страните му са еднакви, а ъглите при основите са равни, което е добре илюстрирано от фигурата. Равнобедреният трапец има същите свойства като обикновения плюс редица специални. Около равнобедрен трапец може да бъде описан кръг и в него може да бъде вписан кръг.

Какви методи има за изчисляване на площта на такава фигура? Методът по-долу ще изисква много изчисления. За да го използвате, трябва да знаете стойностите на синуса (sin) и косинуса (cos) на ъгъла в основата на трапеца. Техните изчисления изискват или таблици на Брадис, или инженерен калкулатор. Ето формулата:

S= ° С*грях а*(а - ° С*cos а),

Където с- странично бедро, а- ъгъл при долната основа.

Равностранен трапец има диагонали с еднаква дължина. Обратното също е вярно: ако трапецът има равни диагонали, тогава той е равнобедрен. Оттук и следната формула, която помага да се намери площта на трапец - полупродуктът на квадрата на диагоналите и синуса на ъгъла между тях: S = ½ d 2 sin а.

Намиране на площта на правоъгълен трапец

Известен специален случайправоъгълен трапец. Това е трапец, в който едната страна (бедрото) граничи с основите под прав ъгъл. Има свойствата на правилен трапец. Освен това тя има много интересна функция. Разликата в квадратите на диагоналите на такъв трапец е равна на разликата в квадратите на неговите основи. За него се използват всички описани по-горе методи за изчисляване на площта.

Използваме изобретателност

Има един трик, който може да ви помогне, ако забравите определени формули. Нека да разгледаме по-отблизо какво е трапец. Ако мислено го разделим на части, ще получим познати и разбираеми геометрични фигури: квадрат или правоъгълник и триъгълник (един или два). Ако височината и страните на трапеца са известни, можете да използвате формулите за площта на триъгълник и правоъгълник и след това да добавите всички получени стойности.

Нека илюстрираме това със следния пример. Даден е правоъгълен трапец. Ъгъл C = 45°, ъгли A, D са 90°. Горната основа на трапеца е 20 см, височината е 16 см. Трябва да изчислите площта на фигурата.

Тази фигура очевидно се състои от правоъгълник (ако два ъгъла са равни на 90°) и триъгълник. Тъй като трапецът е правоъгълен, следователно височината му е равна на неговата страна, тоест 16 см. Имаме правоъгълник със страни съответно 20 и 16 см. Сега разгледайте триъгълник, чийто ъгъл е 45°. Знаем, че едната му страна е 16 см. Тъй като тази страна е и височината на трапеца (и знаем, че височината се спуска към основата под прав ъгъл), следователно вторият ъгъл на триъгълника е 90°. Следователно оставащият ъгъл на триъгълника е 45°. В резултат на това получаваме правоъгълник равнобедрен триъгълник, чиито две страни са еднакви. Това означава, че другата страна на триъгълника е равна на височината, тоест 16 см. Остава да се изчисли площта на триъгълника и правоъгълника и да се съберат получените стойности.

Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката му: S = (16*16)/2 = 128. Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговата ширина и дължина: S = 20*16 = 320. Намерихме необходимото: площ на трапеца S = 128 + 320 = 448 кв. вижте. Можете лесно да се проверите отново, като използвате горните формули, отговорът ще бъде идентичен.

Използваме формулата Pick

S = M/2 + N - 1,

в тази формула М е броят на възлите, т.е. пресечни точки на линиите на фигурата с линиите на клетката на границите на трапеца (оранжеви точки на фигурата), N е броят на възлите във фигурата (сини точки). Най-удобно е да го използвате, когато намирате площта на неправилен многоъгълник. Въпреки това, колкото по-голям е арсеналът от използвани техники, толкова по-малко грешки и по-добри резултати.

Разбира се, предоставената информация не изчерпва видовете и свойствата на трапеца, както и методите за намиране на неговата площ. Тази статия предоставя преглед на най-важните му характеристики. Когато решавате геометрични задачи, е важно да действате постепенно, да започнете с лесни формули и задачи, последователно да консолидирате разбирането си и да преминете към друго ниво на сложност.

Събраните заедно най-често срещаните формули ще помогнат на учениците да се ориентират в различните начини за изчисляване на площта на трапец и по-добре да се подготвят за тестове и тестовепо тази тема.

Има много начини да намерите площта на трапец. Обикновено учителят по математика знае няколко метода за изчисляването му, нека ги разгледаме по-подробно:
1) , където AD и BC са основите, а BH е височината на трапеца. Доказателство: начертайте диагонала BD и изразете площите на триъгълниците ABD и CDB чрез полупроизведението на техните основи и височини:

, където DP е външната височина в

Нека съберем тези равенства член по член и като вземем предвид, че височините BH и DP са равни, получаваме:

Нека го извадим от скоби

Q.E.D.

Следствие от формулата за площта на трапец:
Тъй като полусумата на основите е равна на MN - средната линия на трапеца, тогава

2) Приложение обща формулаплощ на четириъгълник.
Площта на четириъгълник е равна на половината от произведението на диагоналите, умножено по синуса на ъгъла между тях
За да го докажете, достатъчно е да разделите трапеца на 4 триъгълника, да изразите площта на всеки по отношение на „половината от продукта на диагоналите и синуса на ъгъла между тях“ (взет като ъгъл, добавете получения изрази, извадете ги от скобата и факторизирайте тази скоба, като използвате метода на групиране, за да получите равенството му с израза Следователно

3) Метод на диагонално изместване
Това е името ми. Учителят по математика няма да срещне такова заглавие в училищните учебници. Описание на техниката можете да намерите само в доп учебницикато пример за решаване на проблем. Отбелязвам, че повечето от интересните и полезни фактиучителите по математика разкриват планиметрията на учениците в процеса на изпълнение практическа работа. Това е изключително неоптимално, защото ученикът трябва да ги изолира в отделни теореми и да ги нарече „големи имена“. Едно от тях е "диагонално изместване". За какво става дума? Нека начертаем права, успоредна на AC през върха B, докато се пресече с долната основа в точка E. В този случай четириъгълникът EBCA ще бъде успоредник (по дефиниция) и следователно BC=EA и EB=AC. Първото равенство е важно за нас сега. Ние имаме:

Имайте предвид, че триъгълникът BED, чиято площ е равна на площта на трапеца, има още няколко забележителни свойства:
1) Площта му е равна на площта на трапеца
2) Неговият равнобедрен се появява едновременно с равнобедрения на самия трапец
3) Неговият горен ъгъл във връх B равен на ъгълмежду диагоналите на трапец (което много често се използва в задачи)
4) Неговата медиана BK е равна на разстоянието QS между средите на основите на трапеца. Наскоро се сблъсках с използването на това свойство, когато подготвях студент за механика и математика в Московския държавен университет, използвайки учебника на Ткачук, версия от 1973 г. (проблемът е даден в долната част на страницата).

Специални техники за учител по математика.

Понякога предлагам задачи, използвайки много труден начин за намиране на площта на трапец. Класифицирам го като специална техника, защото на практика преподавателят ги използва изключително рядко. Ако имате нужда от подготовка за Единния държавен изпит по математика само в част Б, не е нужно да четете за тях. За други ще ви кажа по-нататък. Оказва се, че площта на трапеца се удвоява повече площтриъгълник с върхове в краищата на едната страна и средата на другата, тоест триъгълникът ABS на фигурата:
Доказателство: начертайте височините SM и SN в триъгълници BCS и ADS и изразете сумата от площите на тези триъгълници:

Тъй като точка S е средата на CD, то (докажете сами) намерете сумата от площите на триъгълниците:

Тъй като тази сума се оказа равна на половината от площта на трапеца, тогава втората му половина. и т.н.

Бих включил в колекцията от специални техники на учителя формата за изчисляване на площта на равнобедрен трапец по неговите страни: където p е полупериметърът на трапеца. Няма да давам доказателства. Иначе твоят учител по математика ще остане без работа :). Ела в час!

Задачи върху областта на трапец:

Бележка на учителя по математика: Списъкът по-долу не е методическо съпътстване на темата, това е само малка селекция от интересни задачи, базирани на техниките, разгледани по-горе.

1) Долната основа на равнобедрен трапец е 13, а горната е 5. Намерете площта на трапеца, ако диагоналът му е перпендикулярен на страната.
2) Намерете лицето на трапец, ако основите му са 2 cm и 5 cm, а страните му са 2 cm и 3 cm.
3) В равнобедрен трапец по-голямата основа е 11, страната е 5, а диагоналът е Намерете площта на трапеца.
4) Диагоналът на равнобедрен трапец е 5, а средната линия е 4. Намерете лицето.
5) В равнобедрен трапец основите са 12 и 20, а диагоналите са взаимно перпендикулярни. Изчислете площта на трапец
6) Диагоналът на равнобедрен трапец сключва ъгъл с долната му основа. Намерете лицето на трапеца, ако височината му е 6 cm.
7) Площта на трапеца е 20, а едната му страна е 4 см. Намерете разстоянието до него от средата на срещуположната страна.
8) Диагоналът на равнобедрен трапец го разделя на триъгълници с повърхнини 6 и 14. Намерете височината, ако страничната страна е 4.
9) В трапец диагоналите са равни на 3 и 5, а сегментът, свързващ средните точки на основите, е равен на 2. Намерете площта на трапеца (Mekhmat MSU, 1970).

Не избрах най-доброто сложни задачи(не се страхувайте от механиката и математиката!) с очакването за възможността за тях независимо решение. Решете за вашето здраве! Ако имате нужда от подготовка за Единния държавен изпит по математика, тогава без участие в този процес могат да възникнат формули за площта на трапец сериозни проблемидори при проблем B6 и още повече при C4. Не започвайте темата и при затруднения помолете за помощ. Учител по математика винаги се радва да ви помогне.

Колпаков А.Н.
Учител по математика в Москва, подготовка за Единния държавен изпит в Строгино.

Практиката на миналогодишния Единен държавен изпит и Държавен изпит показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаването на задачи.

В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за задачи с решения. Можете да срещнете същите в KIM по време на сертификационни изпити или на олимпиади. Затова се отнасяйте към тях внимателно.

Какво трябва да знаете за трапеца?

Като начало нека си припомним това трапецсе нарича четириъгълник, в който две срещуположни страни, наричани още основи, са успоредни, а другите две не са.

В трапец височината (перпендикулярна на основата) също може да бъде намалена. Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и равна на половината от техния сбор. Както и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или в в някои случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише окръжност. И опишете кръг около него.

Формули за площ на трапец

Първо, нека разгледаме стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начините за изчисляване на площта на равнобедрени и криволинейни трапеци по-долу.

И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е спусната до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигура в този случай е толкова лесно, колкото беленето на круши. Просто трябва да разделите сумата от дължините на основите на две и да умножите резултата по височината: S = 1/2(a + b)*h.

Нека вземем друг случай: да предположим, че в трапец, освен височината, има средна линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2(a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до следната форма: S = m*h. С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите централната линия по височината.

Нека разгледаме друг вариант: трапецът съдържа диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите произведението на диагоналите на две и да умножите резултата по греха на ъгъла между тях: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако нищо не се знае за него, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Обемно е и сложна формула, но ще ви е полезно да го запомните за всеки случай: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Между другото, горните примери са валидни и за случая, когато имате нужда от формулата за площта на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна граничи с основите под прав ъгъл.

Равнобедрен трапец

Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.

Първи вариант: за случая, когато окръжност с радиус r е вписана в равнобедрен трапец, а страната и по-голямата основа образуват остър ъгъл α. В трапец може да се впише окръжност, при условие че сборът от дължините на неговите основи е равен на сбора от дължините на страните.

Площта на равнобедрен трапец се изчислява по следния начин: умножете квадрата на радиуса на вписания кръг по четири и го разделете на sinα: S = 4r 2 /sinα. Друга формула за площ е специален случай за опцията, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r2.

Втори вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който допълнително са начертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапец са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сбора на основите: h = 1/2(a + b). Знаейки това, лесно е да трансформирате формулата за площта на вече познатия ви трапец в тази форма: S = h 2.

Формула за площта на извит трапец

Нека започнем, като разберем какво е извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в даден сегмент на оста x. Криволинеен трапец е образуван от графиката на функцията y = f(x) - отгоре, оста x е отдолу (отсечка), а отстрани - прави, прекарани между точки a и b и графиката на функцията.

Невъзможно е да се изчисли площта на такава нестандартна фигура, като се използват горните методи. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). В тази формула F е първоизводната на нашата функция върху избрания сегмент. И района извит трапецсъответства на увеличението на антипроизводното върху даден сегмент.

Примерни проблеми

За да направите всички тези формули по-лесни за разбиране в главата си, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е първо да се опитате да решите задачите сами и едва след това да сравните получения отговор с готовото решение.

Задача №1:Даден е трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Трапецът има диагонали, единият с дължина 12 cm, вторият 9 cm.

Решение: Построете трапец AMRS. Прекарайте права РХ през върха P така, че да е успоредна на диагонала MC и да пресича правата AC в точка X. Ще получите триъгълник APХ.

Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник APX и паралелограм CMRX.

Благодарение на успоредника научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Откъде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Можем също да докажем, че триъгълникът APX е правоъгълен (за да направите това, приложете Питагоровата теорема - AX 2 = AP 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

След това ще трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са равни по площ. Основата ще бъде равенството на страните MR и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускаш от тези страни - те са равни на височината на AMRS трапеца.

Всичко това ще ви позволи да кажете, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Задача #2:Даден е трапецът KRMS. На страничните му страни има точки O и E, а OE и KS са успоредни. Известно е също, че площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5. RM = a и KS = b. Трябва да намерите OE.

Решение: Начертайте права, успоредна на RK, през точка M и означете нейната пресечна точка с OE като T. A е пресечната точка на права, прекарана през точка E, успоредна на RK, с основата KS.

Нека въведем още едно означение - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).

Ще приемем, че b > a. Площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5, което ни дава право да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Нека трансформираме и получаваме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Тъй като триъгълниците TME и AEC са подобни, имаме h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Нека комбинираме двата записа и да получим: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Така OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрията не е от най-лесните науки, но със сигурност можете да се справите с изпитните въпроси. Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.

Опитахме се да съберем всички формули за изчисляване на площта на трапец на едно място, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и повтаряте материала.

Не забравяйте да кажете на вашите съученици и приятели за тази статия. в социалните мрежи. Позволявам добри оценкище има още за Единния държавен изпит и Държавния изпитен тест!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към оригиналния източник.