الأعداد الأولية. أعداد. الأعداد الأولية لماذا 1 ليس عددا أوليا

في هذه المقالة سوف نستكشف الأعداد الأولية والمركبة. أولاً، سنقدم تعريفات للأعداد الأولية والمركبة، ونعطي أمثلة أيضًا. وبعد ذلك سوف نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. بعد ذلك، سوف نقوم بكتابة جدول الأعداد الأولية، وننظر في طرق تجميع جدول الأعداد الأولية، مع إيلاء اهتمام خاص للطريقة التي تسمى غربال إراتوستينس. وفي الختام، سنسلط الضوء على النقاط الرئيسية التي يجب أخذها في الاعتبار عند إثبات أن رقمًا معينًا أولي أو مركب.

التنقل في الصفحة.

الأعداد الأولية والمركبة - التعاريف والأمثلة

تشير مفاهيم الأعداد الأولية والأعداد المركبة إلى الأعداد الأكبر من الواحد. يتم تقسيم هذه الأعداد الصحيحة، اعتمادًا على عدد قواسمها الإيجابية، إلى أرقام أولية ومركبة. حتى نفهم تعريفات الأعداد الأولية والمركبة، يجب أن يكون لديك فهم جيد لماهية المقسومات والمضاعفات.

تعريف.

الأعداد الأوليةهي أعداد صحيحة، وهي وحدات كبيرة، لها قاسمتان موجبتان فقط، وهما نفسها و1.

تعريف.

الأرقام المركبةهي الأعداد الصحيحة، الكبيرة، التي تحتوي على ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.

بشكل منفصل، نلاحظ أن الرقم 1 لا ينطبق على الأعداد الأولية أو المركبة. تحتوي الوحدة على مقسوم موجب واحد فقط، وهو الرقم 1 نفسه. وهذا ما يميز الرقم 1 عن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأخرى التي تحتوي على قاسمين موجبين على الأقل.

مع الأخذ في الاعتبار أن الأعداد الصحيحة الموجبة هي، وأن أحدها لديه مقسوم موجب واحد فقط، يمكننا إعطاء صيغ أخرى للتعريفات المذكورة للأعداد الأولية والمركبة.

تعريف.

الأعداد الأوليةهي أعداد طبيعية لها قاسمتان موجبتان فقط.

تعريف.

الأرقام المركبةهي الأعداد الطبيعية التي لها أكثر من قاسمتين موجبتين.

لاحظ أن كل عدد صحيح موجب أكبر من الواحد هو إما عدد أولي أو عدد مركب. بمعنى آخر، لا يوجد عدد صحيح واحد ليس أوليًا ولا مركبًا. يتبع ذلك خاصية قابلية القسمة، والتي تنص على أن الرقمين 1 و a دائمًا ما يكونان مقسومين على أي عدد صحيح.

بناءً على المعلومات الواردة في الفقرة السابقة، يمكننا تقديم التعريف التالي للأرقام المركبة.

تعريف.

يتم استدعاء الأعداد الطبيعية التي ليست أولية مركب.

هيا نعطي أمثلة على الأعداد الأولية والمركبة.

تتضمن أمثلة الأرقام المركبة 6 و63 و121 و6697. هذا البيان يحتاج أيضا إلى توضيح. الرقم 6، بالإضافة إلى المقسومين الموجبين 1 و 6، لديه أيضًا المقسومان 2 و 3، نظرًا لأن 6 = 2 3، وبالتالي فإن 6 هو حقًا رقم مركب. العوامل الإيجابية للعدد 63 هي الأرقام 1، 3، 7، 9، 21 و63. الرقم 121 يساوي حاصل الضرب 11·11، لذا فإن قواسمه الموجبة هي 1 و11 و121. والعدد 6697 مركب، لأن قواسمه الموجبة بالإضافة إلى 1 و6697 هي أيضا الرقمين 37 و181.

في ختام هذه اللحظة، أود أيضًا أن ألفت الانتباه إلى حقيقة أن الأعداد الأولية والأعداد الأولية بعيدة كل البعد عن نفس الشيء.

جدول الأعداد الأولية

يتم تسجيل الأعداد الأولية، لسهولة استخدامها في المستقبل، في جدول يسمى جدول الأعداد الأولية. في الأسفل يكون جدول الأعداد الأوليةما يصل إلى 1000.

يطرح سؤال منطقي: "لماذا ملأنا جدول الأعداد الأولية حتى 1000 فقط، أليس من الممكن إنشاء جدول بجميع الأعداد الأولية الموجودة"؟

دعنا نجيب على الجزء الأول من هذا السؤال أولاً. بالنسبة لمعظم المسائل التي تتطلب استخدام الأعداد الأولية، ستكون الأعداد الأولية ضمن الألف كافية. وفي حالات أخرى، على الأرجح، سيتعين عليك اللجوء إلى بعض الحلول الخاصة. على الرغم من أنه يمكننا بالتأكيد إنشاء جدول من الأعداد الأولية يصل إلى عدد صحيح موجب محدود كبير بشكل تعسفي، سواء كان 10000 أو 1000000000، في الفقرة التالية سنتحدث عن طرق إنشاء جداول الأعداد الأولية، على وجه الخصوص، سننظر إلى طريقة مُسَمًّى.

الآن دعونا نلقي نظرة على إمكانية (أو بالأحرى استحالة) تجميع جدول بجميع الأعداد الأولية الموجودة. لا يمكننا عمل جدول بجميع الأعداد الأولية لأن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. العبارة الأخيرة هي نظرية سنثبتها بعد النظرية المساعدة التالية.

نظرية.

أصغر مقسوم موجب غير 1 لعدد طبيعي أكبر من الواحد هو عدد أولي.

دليل.

يترك a هو عدد طبيعي أكبر من واحد، وb هو أصغر مقسوم موجب على غير الواحد. دعونا نثبت أن b عدد أولي بالتناقض.

لنفترض أن b عدد مركب. ثم هناك مقسوم على الرقم ب (دعنا نشير إليه ب 1)، وهو يختلف عن كل من 1 و ب. وإذا أخذنا في الاعتبار أيضًا أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم (نعرف ذلك من خصائص قابلية القسمة)، فيجب استيفاء الشرط 1

بما أن الرقم a يقبل القسمة على b حسب الشرط، وقلنا أن b يقبل القسمة على b 1، فإن مفهوم القسمة يسمح لنا بالحديث عن وجود أعداد صحيحة q و q 1 بحيث يكون a=b q و b=b 1 ف 1 , من حيث أ= ب 1 ·(ف 1 ·ف) . ويترتب على ذلك أن حاصل ضرب عددين صحيحين هو عدد صحيح، فإن المساواة a=b 1 ·(q 1 ·q) تشير إلى أن b 1 هو مقسوم على الرقم a. مع الأخذ في الاعتبار عدم المساواة المذكورة أعلاه 1

الآن يمكننا أن نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.

نظرية.

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

دليل.

لنفترض أن هذا ليس هو الحال. أي لنفترض أنه لا يوجد سوى n أعداد أولية، وهذه الأعداد الأولية هي p 1، p 2، ...، p n. دعونا نبين أنه يمكننا دائمًا العثور على عدد أولي مختلف عن تلك المشار إليها.

اعتبر الرقم p يساوي p 1 ·p 2 ·…·p n +1. ومن الواضح أن هذا العدد يختلف عن كل من الأعداد الأولية p 1، p 2، ...، p n. إذا كان العدد p أوليًا، فقد تم إثبات النظرية. إذا كان هذا الرقم مركبا، فبموجب النظرية السابقة يوجد مقسوم أولي لهذا الرقم (نشير إليه p n+1). دعونا نبين أن هذا المقسوم عليه لا يتطابق مع أي من الأرقام ص 1، ص 2، ...، ص ن.

إذا لم يكن الأمر كذلك، وفقًا لخصائص القسمة، فإن المنتج p 1 ·p 2 ·…·p n سيتم تقسيمه على p n+1. لكن الرقم p قابل للقسمة أيضًا على p n+1، وهو ما يساوي المجموع p 1 ·p 2 ·…·p n +1. ويترتب على ذلك أن p n+1 يجب أن يقسم الحد الثاني من هذا المجموع، وهو يساوي واحدا، لكن هذا مستحيل.

وهكذا، فقد ثبت أنه يمكن دائمًا العثور على رقم أولي جديد غير مدرج ضمن أي عدد من الأعداد الأولية المحددة مسبقًا. ولذلك، هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

لذلك، نظرًا لوجود عدد لا حصر له من الأعداد الأولية، عند تجميع جداول الأعداد الأولية، فإنك دائمًا تقصر نفسك من الأعلى على رقم ما، عادةً 100، 1000، 10000، إلخ.

غربال إراتوستينس

الآن سنناقش طرق إنشاء جداول الأعداد الأولية. لنفترض أننا بحاجة إلى إنشاء جدول للأعداد الأولية حتى 100.

الطريقة الأكثر وضوحا لحل هذه المشكلة هي فحص الأعداد الصحيحة الموجبة بشكل تسلسلي، بدءا من 2 وانتهاء بـ 100، لوجود مقسوم موجب أكبر من 1 وأقل من الرقم الذي يتم اختباره (من خواص قابلية القسمة نعرف أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم، غير الصفر). إذا لم يتم العثور على هذا المقسوم عليه، فإن الرقم الذي يتم اختباره هو عدد أولي، ويتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. إذا تم العثور على مثل هذا المقسوم، فإن الرقم الذي يتم اختباره هو رقم مركب، ولا يتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. بعد ذلك، يحدث الانتقال إلى الرقم التالي، والذي يتم التحقق منه بالمثل للتأكد من وجود المقسوم عليه.

دعونا نصف الخطوات القليلة الأولى.

نبدأ بالرقم 2. الرقم 2 ليس له قواسم موجبة غير 1 و 2. لذلك فهو بسيط لذلك ندخله في جدول الأعداد الأولية. وهنا ينبغي القول أن 2 هو أصغر عدد أولي. دعنا ننتقل إلى الرقم 3. والمقسوم الموجب المحتمل له غير 1 و 3 هو الرقم 2. لكن 3 لا يقبل القسمة على 2، وبالتالي فإن 3 هو رقم أولي، ويجب أيضًا إدراجه في جدول الأعداد الأولية. دعنا ننتقل إلى الرقم 4. قواسمه الموجبة غير 1 و 4 يمكن أن تكون الرقمين 2 و 3، دعونا نتحقق منها. الرقم 4 يقبل القسمة على 2، وبالتالي فإن 4 هو رقم مركب ولا يحتاج إلى إدراجه في جدول الأعداد الأولية. يرجى ملاحظة أن 4 هو أصغر رقم مركب. دعنا ننتقل إلى الرقم 5. نتحقق مما إذا كان واحد على الأقل من الأرقام 2، 3، 4 هو المقسوم عليه. بما أن الرقم 5 لا يقبل القسمة على 2 أو 3 أو 4، فهو عدد أولي، ويجب تدوينه في جدول الأعداد الأولية. ثم هناك انتقال إلى الأرقام 6، 7، وهكذا حتى 100.

هذا النهج في تجميع جدول الأعداد الأولية ليس مثاليًا على الإطلاق. بطريقة أو بأخرى، لديه الحق في الوجود. لاحظ أنه باستخدام هذه الطريقة لإنشاء جدول الأعداد الصحيحة، يمكنك استخدام معايير قابلية القسمة، مما سيسرع عملية البحث عن المقسومات قليلاً.

هناك طريقة أكثر ملاءمة لإنشاء جدول الأعداد الأولية، تسمى. كلمة "غربال" الموجودة في الاسم ليست عرضية، لأن تصرفات هذه الطريقة تساعد كما لو كانت على "غربلة" الأعداد الصحيحة والوحدات الكبيرة من خلال منخل إراتوستينس من أجل فصل الأعداد البسيطة عن الأعداد المركبة.

دعونا نعرض منخل إراتوستينس أثناء العمل عند تجميع جدول الأعداد الأولية حتى 50.

أولاً، اكتب الأرقام 2، 3، 4، ...، 50 بالترتيب.

الرقم الأول المكتوب، 2، هو عدد أولي. الآن، من الرقم 2، نتحرك بشكل متتابع إلى اليمين برقمين ونشطب هذه الأرقام حتى نصل إلى نهاية جدول الأرقام الجاري تجميعه. سيؤدي هذا إلى شطب جميع الأرقام التي هي مضاعفات الرقم اثنين.

الرقم الأول الذي يلي الرقم 2 والذي لم يتم شطبه هو 3. هذا الرقم أولي. الآن، من الرقم 3، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بثلاثة أرقام (مع الأخذ في الاعتبار الأرقام المشطوبة بالفعل) ونشطبها. سيؤدي هذا إلى شطب جميع الأرقام التي هي مضاعفات الثلاثة.

الرقم الأول الذي يلي الرقم 3 والذي لم يتم شطبه هو 5. هذا الرقم أولي. الآن من الرقم 5 ننتقل باستمرار إلى اليمين بمقدار 5 أرقام (نأخذ في الاعتبار أيضًا الأرقام المشطوبة مسبقًا) ونقوم بشطبها. سيؤدي هذا إلى شطب جميع الأعداد التي هي من مضاعفات العدد خمسة.

بعد ذلك، نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد 7، ثم من مضاعفات العدد 11، وهكذا. تنتهي العملية عندما لا يكون هناك المزيد من الأرقام التي يجب شطبها. يوجد أدناه جدول مكتمل للأعداد الأولية حتى 50، تم الحصول عليه باستخدام منخل إراتوستينس. جميع الأعداد غير المتقاطعة هي أولية، وجميع الأعداد المشطوبة مركبة.

دعونا أيضًا نقوم بصياغة وإثبات نظرية من شأنها تسريع عملية تجميع جدول الأعداد الأولية باستخدام منخل إراتوستينس.

نظرية.

أصغر مقسوم موجب لعدد مركب a يختلف عن واحد لا يتجاوز , حيث من .

دليل.

نشير بالحرف b إلى أصغر مقسوم على رقم مركب a يختلف عن الواحد (الرقم b أولي، كما يلي من النظرية المثبتة في بداية الفقرة السابقة). ثم هناك عدد صحيح q حيث أن a=b·q (هنا q هو عدد صحيح موجب، يتبع قواعد ضرب الأعداد الصحيحة)، و(بالنسبة إلى b>q، يتم انتهاك الشرط الذي يكون b هو أصغر مقسوم على a ، نظرًا لأن q أيضًا مقسوم على الرقم a بسبب المساواة a=q·b ). من خلال ضرب طرفي المتراجحة بعدد موجب وعدد صحيح أكبر من واحد (يُسمح لنا بذلك)، نحصل على من و.

ماذا تعطينا النظرية المثبتة فيما يتعلق بمنخل إراتوستينس؟

أولاً، يجب أن يبدأ شطب الأعداد المركبة التي هي مضاعفات الرقم الأولي ب برقم يساوي (وهذا يتبع من عدم المساواة). على سبيل المثال، شطب الأعداد التي هي من مضاعفات العدد اثنين يجب أن يبدأ بالرقم 4، ومضاعفات الثلاثة بالرقم 9، ومضاعفات الخمسة بالرقم 25، وهكذا.

ثانيًا، يمكن اعتبار تجميع جدول الأعداد الأولية حتى الرقم n باستخدام منخل إراتوستينس مكتملًا عندما لا تتجاوز جميع الأعداد المركبة التي هي مضاعفات الأعداد الأولية . في مثالنا، n=50 (نظرًا لأننا نقوم بإعداد جدول للأعداد الأولية حتى 50)، وبالتالي، يجب أن يزيل منخل إراتوستينس جميع الأرقام المركبة التي هي مضاعفات الأعداد الأولية 2 و3 و5 و7 التي لها علاقة لا يتجاوز الجذر التربيعي الحسابي لـ 50. أي أننا لم نعد بحاجة إلى البحث عن الأعداد التي هي مضاعفات الأعداد الأولية 11 و13 و17 و19 و23 وما إلى ذلك حتى 47، حيث سيتم شطبها بالفعل كمضاعفات للأعداد الأولية الأصغر 2. و 3 و 5 و 7 .

هل هذا العدد أولي أم مركب؟

تتطلب بعض المهام معرفة ما إذا كان الرقم المعطى أوليًا أم مركبًا. بشكل عام، هذه المهمة ليست بسيطة على الإطلاق، خاصة بالنسبة للأرقام التي تتكون كتابتها من عدد كبير من الأحرف. في معظم الحالات، عليك أن تبحث عن طريقة محددة لحلها. ومع ذلك، سنحاول توجيه قطار الأفكار للحالات البسيطة.

بالطبع، يمكنك محاولة استخدام اختبارات قابلية القسمة لإثبات أن رقمًا معينًا مركب. على سبيل المثال، إذا أظهرت بعض اختبارات قابلية القسمة أن رقمًا معينًا قابل للقسمة على عدد صحيح موجب أكبر من واحد، فإن الرقم الأصلي مركب.

مثال.

أثبت أن 898,989,898,989,898,989 هو رقم مركب.

حل.

مجموع أرقام هذا الرقم هو 9·8+9·9=9·17. بما أن الرقم الذي يساوي 9·17 قابل للقسمة على 9، فمن خلال قابلية القسمة على 9 يمكننا القول أن الرقم الأصلي قابل للقسمة أيضًا على 9. ولذلك فهو مركب.

العيب الكبير في هذا النهج هو أن معايير القسمة لا تسمح لأحد بإثبات أولية الرقم. لذلك، عند اختبار رقم لمعرفة ما إذا كان أوليًا أم مركبًا، عليك القيام بالأشياء بطريقة مختلفة.

الطريقة الأكثر منطقية هي تجربة جميع المقسومات المحتملة لعدد معين. إذا لم يكن أي من المقسومات المحتملة مقسومًا حقيقيًا على رقم معين، فسيكون هذا الرقم أوليًا، وإلا فسيكون مركبًا. من النظريات المثبتة في الفقرة السابقة، يترتب على ذلك أنه يجب البحث عن قواسم عدد معين بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز . وبالتالي، يمكن تقسيم رقم معين a بشكل تسلسلي على الأعداد الأولية (والتي يتم أخذها بسهولة من جدول الأعداد الأولية)، في محاولة للعثور على مقسوم على الرقم a. إذا تم العثور على المقسوم عليه، فإن الرقم a مركب. إذا لم يكن بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز , لا يوجد قاسم للرقم a، فإن الرقم a هو أولي.

مثال.

رقم 11723 بسيط أم مركب؟

حل.

دعونا نتعرف على العدد الأولي الذي يمكن أن تكون عليه قواسم الرقم 11723. للقيام بذلك، دعونا تقييم.

من الواضح جدًا ذلك ، بما أن 200 2 = 40,000، و11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью مقارنة الأرقام). ومن ثم، فإن العوامل الأولية المحتملة للرقم 11723 أقل من 200. وهذا بالفعل يجعل مهمتنا أسهل بكثير. إذا لم نكن نعرف ذلك، فسيتعين علينا مراجعة جميع الأعداد الأولية، ليس حتى 200، ولكن حتى الرقم 11723.

إذا رغبت في ذلك، يمكنك تقييم أكثر دقة. بما أن 108 2 = 11,664، و109 2 = 11,881، إذن 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . وبالتالي، فإن أيًا من الأعداد الأولية الأقل من 109 من المحتمل أن يكون عاملاً أوليًا للرقم المحدد 11,723.

الآن سنقوم بتقسيم الرقم 11,723 إلى أعداد أولية 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71. ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107 . إذا قسم العدد 11,723 على أحد الأعداد الأولية المكتوبة، فإنه يكون مركبا. إذا كان غير قابل للقسمة على أي من الأعداد الأولية المكتوبة، فإن العدد الأصلي هو أولي.

لن نصف عملية الانقسام الرتيبة والرتيبة هذه برمتها. لنفترض على الفور أن 11723

§2 الأعداد الأولية.

ص.1 الأعداد الأولية والمركبة.

كم عدد المقسومات التي يمكن أن يحتوي عليها العدد الطبيعي؟ الرقم 1 له مقسوم واحد فقط. كل عدد طبيعي له مقسومان: 1 والرقم نفسه أ. هناك أرقام ليس لها قواسم أخرى.

تعريف . عدد طبيعي ريُسمى أوليًا إذا كان له مقسومان بالضبط: 1 وp.

تعريف . يسمى العدد الطبيعي a مركبًا إذا كان له قاسم واحد على الأقل بالإضافة إلى 1 وa.

تعليق. الرقم 1 ليس مركبا ولا أوليا.

مجموعة من نيمكن تقسيمها إلى ثلاث مجموعات فرعية.

1 هو رقم له قاسم واحد.
الأعداد الأولية التي لها مقسومان بالضبط.
الأعداد المركبة التي لها ثلاثة قواسم على الأقل.

دعونا نكتب الأعداد الأولية القليلة الأولى:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

هل هذه المتتابعة لا نهائية أم يمكننا إدراج جميع الأعداد الأولية؟ الجواب كان معروفا بالفعل لدى إقليدس.

نظرية. (إقليدس)

مجموعة الأعداد الأولية لا نهائية.

دليل. “
"يترك
- مجموعة جميع الأعداد الأولية، حيث - آخر (أكبر) عدد أولي.

دعونا نجعل رقما
. بوضوح،
، وسائل، ن-مركب.
وينقسم إلى واحدة من بسيطة، على سبيل المثال، في . ولكن بعد ذلك، وفقا لخصائص القسمة، يتم تقسيم 1 على وهو أمر مستحيل.

دعونا نفكر في بعض الخصائص الأولية للأعداد الأولية.

1. دع
- أصغر مقسوم على العدد الطبيعي أ.

ثم ص-رقم اولي.

دليل. يترك د- بعض المقسوم على الرقم ص.

لكن ص-أصغر المقسوم عليه
أو
ص- بسيط.

2. دع
- أصغر مقسوم على رقم مركب أ.

ثم

دليل. أ- مركب يعني

بالشرط

3. ليكن عددا طبيعيا، ص- رقم اولي.

ثم يتم تقسيم على ص، أو أو صبسيطة بشكل متبادل.

دليل. يترك
. د- القاسم الأولي
أو

لو د=1 ثم و صبسيطة بشكل متبادل.

لو د=ص، ثم يتم تقسيم a على r.

4. دع ص- العدد الأولي، منتج أ بمقسمة على ص، ثم يتم تقسيم a على صأو بمقسوما على ص.

دليل. إذا كان a لا يقبل القسمة على صثم حسب الخاصية 3 جي سي دي(أ، ص)=1.

ولكن بعد ذلك، من خلال خاصية العددين الأوليين، بمقسمة على ر.

ملاحظة 1. يمكن تعميم الخاصية 4 بسهولة عن طريق الاستقراء: إذا كان المنتج
قابل للقسمة على أولي ص، ثم هناك عامل ، والتي تنقسم إلى ص.

ملاحظة 2. إذا كان العمل
قابل للقسمة على أولي ص، وجميع العوامل هي أعداد أولية، فإن أحد العوامل على الأقل يساوي p.

لتجميع قائمة من الأعداد الأولية التي لا تتجاوز رقما معينا ناستخدم خوارزمية تسمى "غربال إراتوستينس".

دعونا نكتب الأعداد الطبيعية من 2 إلى ن.

الرقم 2 أولي. لنقم بشطب جميع الأرقام من مضاعفات الرقم 2 (باستثناء 2) من القائمة. أول العدد المتبقي، رقم 3، سيكون أوليًا. لنقم بشطب جميع الأرقام من مضاعفات الرقم 3 (باستثناء 3) من القائمة. أول الأرقام المتبقية، 5، سيكون أوليًا. ثم نقوم بشطب جميع الأعداد من مضاعفات الرقم 5 (ما عدا الرقم 5) وهكذا.

ستتوقف الخوارزمية عندما يصبح الرقم الذي لم يتم شطبه أكبر من
. في الواقع، حسب الخاصية 2، جميع الأرقام المركبة في قائمتنا لها مقسوم عليها
. وهذا يعني أنهم قد تم شطبهم بالفعل.

جميع الأعداد الأخرى أولية.

مثال. أوجد جميع الأعداد الأولية في الفترة من 2 إلى 100.

حل. لنقم بشطب (تمييز) الأرقام التي هي مضاعفات الرقم 2 (الشكل 1).

العدد الأولي التالي
جميع الأرقام الأخرى أولية (الشكل 5).

تعليق. لو ص- الرقم الأول لم يتم شطبه، فكل الأرقام أقل شطب بالفعل.
شطب مضاعفات الرقم صيمكنك البدء بـ .

البند 2 التخصيم.

العدد المركب 495 له المقسوم عليه 5، وهو ما يعني
. والعامل الثاني هو أيضًا رقم مركب
. بمواصلة العملية، يمكنك في البداية تحليل الرقم إلى عوامل

تعريف . تحليل عدد مركب نيسمى التحلل نإلى عوامل أولية

الطريقة الأكثر وضوحًا لتحليل الرقم نيقلل من تعداد جميع المقسومات الأولية الممكنة،
.

مثال. حلل الرقم 323.

لاحظ أن
. وهذا يعني أنه يجب البحث عن المقسوم عليه بين الأعداد الأولية
. ومن خلال تصفحهم واحدًا تلو الآخر نجد ذلك

مثال. أثبت أن 919 هو عدد أولي.

لأن
، فإن أصغر مقسوم أولي لا يتجاوز 29. وبالتحقق سنتأكد من أن 919 غير قابل للقسمة على الأعداد الأولية.
- رقم اولي.

بالنسبة للأعداد الطبيعية الكبيرة، تكون الطريقة المدروسة غير فعالة. بحث العديد من علماء الرياضيات عن طرق أبسط للتحليل والتي تتطلب عمليات حسابية أقل.

I. طريقة فيرما.

يترك ن- الرقم المحدد،
. تشكيل الأرقام

إذا تبين أن أحدهما مربع تمامًا، فسنحصل على المساواة
، أو
.

يجب أن يتم البحث وصولاً إلى القيمة
. (في هذه الحالة
و
). إذا مربع بالضبط لم يجتمع بعد ذلك ن- رقم اولي.

مثال. حلل إلى عوامل ن=9271.

لدينا
مما يعني م = 97. لنحسب بالتسلسل: .

ثانيا. طريقة أويلر.

اقترح أويلر تدوين الرقم نكمجموع
، أين د- مضاعف محدد خصيصا من هذا القبيل جي سي دي (س، ذ د)=1. ضخامة ديعتمد على نوع الرقم ن. حتى إذا ن=4ك+1 ثم د=1 إذا ن=6ك+1 ثم د=3 الخ في المجمل، أشار أويلر إلى 65 عاملاً دلأنواع مختلفة ن.

لو نقدمت كما
بطريقتين (مع نفسه د)، الذي - التي نيمكن تحليلها.

على سبيل المثال، دعونا

ثم أين جي سي دي(ش،ت)=1.

نحصل على النظام:
و

ولحلها نجد: .

مثال. حلل إلى عوامل ن = 2197.

بالتالي، u=2، v=3، t=10، s=24.

.

ثالثا. يعتمد عدد من التقنيات على الهويات الجبرية البسيطة. على سبيل المثال، تنص نظرية صوفيا جيرمان على ذلك
- عدد مركب .

هذا يأتي من حقيقة أنه عندما ن>1 كلا العاملين أكبر من 1.

في العقود الأخيرة، كان البحث عن خوارزميات التحليل الفعالة الجديدة أحد أكثر المشكلات إلحاحًا في نظرية الأعداد. وكان السبب في ذلك هو تطوير خوارزميات تشفير المفتاح العام، والتي يتطلب فك تشفيرها تحليل أعداد مركبة كبيرة.

البند 3. حول الصيغ التي تولد الأعداد الأولية.

لفترة طويلة، حاول علماء الرياضيات العثور على صيغة تسمح لهم بحساب أي عدد أولي كبير. الأكثر شهرة هي صيغة ميرسين.
وأرقام الفرمات .

تعريف .
- أرقام ميرسين.

للقيم المركبة
رقم
مقسمة على وهذا يعني أن الأمر لن يكون بسيطًا.

يترك ن- رقم اولي. ثم، هي الأعداد الأولية.

لكن بالفعل
، وبالتالي أول الرقم صلا يضمن البروستاتا
.

تبين أن أرقام ميرسين بسيطة عند .

بساطة الأرقام
(مكتوب بـ 139 رقمًا) تم إثباته في عام 1876 من قبل عالم الرياضيات الفرنسي إي.لوك.

استمر البحث الإضافي عن الأعداد الأولية لميسيني بمساعدة تكنولوجيا الكمبيوتر.

الرقم الأولي الأكثر شهرة (اعتبارًا من عام 2011) هو رقم ميرسين رقم 46. هذا
. وتتطلب الكتابة حوالي 13 مليون رقم.

أساس الخوارزميات الحسابية هو معيار بساطة الأرقام
، أشار إليها لوك في عام 1878 وحسنها لومير في عام 1930.

معيار لوكاس لومير.

رقم
أولي إذا وفقط إذا كان في التسلسل المتكرر
عضو
مقسمة على
.

من غير المعروف اليوم ما إذا كانت مجموعة أرقام ميرسن محدودة أم لا نهائية.

تعريف .
- أرقام الفرمات.

الحدود الأولى للتسلسل هي الأعداد الأولية:

اقترح فيرما (1650) أن جميع الأعداد من هذا النوع ستكون أولية. ومع ذلك، أظهر أويلر (1739) أن.

من غير المعروف حاليًا ما إذا كانت هناك أعداد أولية أخرى لفيرمات
.

وباستخدام أرقام فيرما يمكننا الحصول على برهان آخر لنظرية إقليدس.

نظرية(بويا).

أي رقمين فيرما أوليان نسبيًا.

دليل. يترك و
- أرقام الفرمات التعسفية.

دعونا نظهر ذلك
مقسمة على . في الواقع، هو قابل للقسمة على x+1، أي. على .

دع m يكون القاسم المشترك و
. ثم ومنذ ذلك الحين
، وسائل،
. لكن أرقام فيرمات غريبة

عاقبة. هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

دليل. كل من
لديه قاسم فردي لا يقسم أرقام فيرمات الأخرى، لذلك، هناك على الأقل نأرقام فردية بسيطة،
هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

تعليق. تظهر أعداد فيرما الأولية بشكل غير متوقع في مشكلة بناء منتظم ن- مربع باستخدام البوصلة والمسطرة. أثبت غاوس أن البناء ممكن إذا وفقط إذا
، أين - فيرمات الأعداد الأولية.

افتراضات لا أساس لها حول بساطة الأرقام
و دفع العلماء إلى البحث عن صيغ أخرى تكون قيمها مجرد أعداد أولية، أو على الأقل تحتوي على عدد لا نهائي من القيم الأولية.

اهتم أويلر بمتعددات الحدود:
، تحديد الأعداد الأولية في
و، مع أخذ القيم البسيطة في
.

وفي وقت لاحق تم إثبات النظرية التالية.

نظرية(جولدباخ).

لا متعدد الحدود
مع المعاملات الصحيحة لا يمكن أن تأخذ قيمًا بسيطة
أمام الجميع
.

دليل. دعها، دعها
- رقم اولي.

ثم حسب صيغة تايلور : .

جميع الاحتمالات
- الأعداد الكلية
مقسوما على ص.

إذا حاولت الحصول على القيم
كانت بسيطة إذن
لجميع عدد صحيح ر، ولكن هذا يتناقض مع حقيقة ذلك
.

هل واحد هو عدد أولي؟ لا، الواحد ليس عددًا أوليًا.
هل 0 عدد أولي؟ لا، الصفر ليس عدداً أولياً.
هل 2 عدد أولي؟ نعم، 2 هو عدد أولي. 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.

هل 3 عدد أولي؟ نعم 3 هو عدد أولي
هل 5 عدد أولي؟ نعم، 5 هو عدد أولي.
هل 7 عدد أولي؟ نعم، 7 هو عدد أولي.
هل 9 عدد أولي؟ لا، 9 ليس عددا أوليا. بعد كل شيء، 9 يقبل القسمة على نفسه، على واحد وعلى ثلاثة.
هل 11 عدد أولي؟ نعم، 11 هو عدد أولي.
هل 13 عدد أولي؟ نعم، 13 هو عدد أولي.
هل 15 عدد أولي؟ لا، 15 ليس عددًا أوليًا. ففي النهاية، العدد 15 يقبل القسمة على نفسه، على واحد، على ثلاثة، على خمسة.
هل 17 عدد أولي؟ نعم، 17 هو عدد أولي.
هل 19 عدد أولي؟ نعم، 19 هو عدد أولي.
هل 20 عدد أولي؟ لا، 20 ليس عددا أوليا. ففي النهاية، العدد 20 يقبل القسمة على نفسه، على واحد، على اثنين، على أربعة، على خمسة، على عشرة.
هل 777 رقم أولي؟ لا، 777 ليس عدداً أولياً. بعد كل شيء، 777 يقبل القسمة على نفسه، على واحد، على 3، على 7، على 37.
هل 997 عدد أولي؟ نعم، 997 هو عدد أولي.
العدد الأولي هو عدد طبيعي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد.

الذي يحتوي على مقسومين طبيعيين مختلفين فقط. وبعبارة أخرى، الرقم صفيكون الأمر بسيطًا عندما يكون أكبر من واحد ولا يمكن قسمته إلا على واحد وعلى نفسه - ص.

تسمى الأعداد الطبيعية والوحدات الكبيرة والأعداد غير الأولية الأرقام المركبة. وبالتالي، تنقسم جميع الأعداد الطبيعية إلى ثلاث فئات: الوحدة (التي لها قاسم واحد)، الأعداد الأولية(لديها 2 المقسومات) و الأرقام المركبة(لديها أكثر من 2 المقسومات).

ابدأ ص تسلسل الأعداد الأوليةيبدو مثل هذا:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

إذا تخيلنا الأعداد الطبيعية كحاصل أعداد أولية، فإن هذا سيسمى التحلل الأولي أو تحليل عدد.

أكبر عدد أولي معروف.

أكبر عدد أولي معروف هو 257885161 - 1. يحتوي هذا الرقم على 17,425,170 رقمًا عشريًا ويسمى بالعدد الأولي رقم ميرسين(م57885161).

بعض خصائص الأعداد الأولية.

دعنا نقول ص- بسيط و صيقسم أب، ثم صيقسم أأو ب.

حلقة الخصومات الزنكسيتم استدعاؤه حقلاً فقط إذا ن- بسيط.

السمة المميزة لجميع الحقول هي صفر أو عدد أولي.

متى ص- بسيطة، ولكن أ- طبيعي يعني أ -أيمكن تقسيمه إلى ص (نظرية فيرما الصغيرة).

متى زهي مجموعة محدودة ترتيبها |ز|مقسمة على صمما يعني زهناك عنصر النظام ص (نظرية كوشي).

متى زهي مجموعة محدودة، و ص ن- أعلى درجة ص، تقسيم |ز|مما يعني زهناك مجموعة فرعية من النظام ص ن، والتي تسمى مجموعة Sylow الفرعية بالإضافة إلى ذلك، يتوافق عدد مجموعات Sylow الفرعية بك+1لمجموع معين ك(نظرية سيلو).

طبيعي ع > 1سوف تكون بسيطة إلا إذا (ص-١)! + 1يمكنك النفخ ص (نظرية ويلسون).

متى ن > 1- الوسائل الطبيعية هناك بسيطة ص: ن< p < 2 n (فرضية برتراند).

سلسلة من الأرقام التي هي معكوس الأعداد الأولية تتباعد. بالإضافة إلى ذلك، عندما.

أي تقدم حسابي من النوع أ، أ + ف، أ + 2 ف، أ + 3 ف، ...، أين أ، ف > 1- جميع أرقام كوبريم، يحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ( نظرية ديريشليت على الأعداد الأولية في التقدم الحسابي).

يمكن تمثيل أي عدد أولي أكبر من ثلاثة 6 كيلو+1أو 6 ك-1، أين ك- عدد طبيعي. وبناء على ذلك، عندما يكون الفرق بين عدة أعداد أولية متتالية (مع ك>1) هو نفسه، مما يعني أنه يقبل القسمة تمامًا على ستة - على سبيل المثال: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

متى ص > 3هو عدد أولي، وهو ما يعني ص2-1مقسمة على 24 (يعمل أيضًا على الأعداد الفردية التي لا تقبل القسمة على ثلاثة).

نظرية جرين تاو. هناك تقدمات حسابية لا حصر لها تتكون من أعداد أولية.

nk-1، أين ن>2، ك>1. بمعنى آخر، لا يمكن أن يكون الرقم الذي يلي العدد الأولي مربعًا أو قوة أعلى ذات أساس أكبر من اثنين. يمكن أن نستنتج أنه عندما يتم تمثيل عدد أولي كـ 2 ك -1، وسائل ك- بسيط.

لا يمكن تمثيل أي عدد أولي على أنه ن 2ك+1+1، أين ن>1، ك>0. بمعنى آخر، لا يمكن أن يكون الرقم الذي يسبق العدد الأولي مكعبًا أو قوة فردية أعلى وقاعدتها أكبر من الواحد.

هناك كثيرات الحدود التي تتطابق فيها مجموعة القيم غير السالبة للقيم الموجبة للمتغيرات مع مجموعة الأعداد الأولية. مثال:

يحتوي كثير الحدود هذا على 26 متغيرًا، وله 25. أدنى درجة لكثيرات الحدود المعروفة من النوع المقدم هي خمسة مع 42 متغيرًا؛ أصغر عدد من المتغيرات هو عشرة بقوة تقارب 1.6 10 45 .

الإجراءات مع الأعداد الأولية.

1. منتج الأعداد الأولية.

2. الفرق بين الأعداد الأولية.

3. مجموع الأعداد الأولية.

4. تقسيم الأعداد الأولية.

في الوقت الحالي، لا توجد خوارزميات متعددة الحدود معروفة لتحليل الأرقام، على الرغم من أنه لم يثبت عدم وجود مثل هذه الخوارزميات. يعتمد نظام التشفير RSA وبعض الأنظمة الأخرى على التعقيد الحسابي العالي المفترض لمشكلة التحليل. إن التحليل مع التعقيد متعدد الحدود ممكن نظريًا على الكمبيوتر الكمي باستخدام خوارزمية شور.

خوارزميات للبحث والتعرف على الأعداد الأولية

يتم تقديم طرق بسيطة للعثور على قائمة أولية من الأعداد الأولية تصل إلى بعض القيمة من خلال غربال إراتوستينس، ومنخل سوندارام، ومنخل أتكين.
ومع ذلك، من الناحية العملية، بدلاً من الحصول على قائمة بالأعداد الأولية، غالبًا ما تريد التحقق مما إذا كان الرقم المحدد أوليًا. تسمى الخوارزميات التي تحل هذه المشكلة باختبارات البدائية. هناك العديد من اختبارات الأولية متعددة الحدود، ولكن معظمها احتمالية (مثل اختبار ميلر-رابين) وتستخدم لاحتياجات التشفير. في عام 2002، ثبت أن مشكلة اختبار البدائية قابلة للحل بشكل عام، ولكن اختبار أجراوال-كاجال-ساكسينا الحتمي المقترح له تعقيد حسابي كبير إلى حد ما، مما يجعل تطبيقه العملي صعبًا.
بالنسبة لبعض فئات الأرقام، توجد اختبارات أولية فعالة ومتخصصة (انظر أدناه).

اللانهاية لمجموعة الأعداد الأولية

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. أقدم دليل معروف على هذه الحقيقة قدمه إقليدس في كتاب العناصر (الكتاب التاسع، البيان 20). ويمكن إعادة إنتاج برهانه باختصار على النحو التالي:

قدم علماء الرياضيات أدلة أخرى. واحد منهم (الذي قدمه أويلر) يوضح أن مجموع مقلوب الأول نالأعداد الأولية، تنمو بشكل غير محدود مع النمو ن.
تختلف أرقام ميرسين بشكل إيجابي عن غيرها من خلال وجود اختبار بدائي فعال: اختبار لوك لومير. وبفضله، احتفظت أعداد ميرسين الأولية بالسجل لفترة طويلة باعتبارها أكبر أعداد أولية معروفة.
للعثور على أعداد أولية تزيد عن 100.000.000 و1.000.000.000 رقم عشري، منحت مؤسسة EFF جوائز نقدية قدرها 150.000 دولار أمريكي و250.000 دولار أمريكي على التوالي. سبق أن منحت مؤسسة EFF جوائز للعثور على أعداد أولية مكونة من 1,000,000 و10,000,000 رقم عشري.

الأعداد الأولية من نوع خاص

هناك عدد من الأرقام التي يمكن تحديد أوليتها بكفاءة باستخدام خوارزميات متخصصة.

للبحث عن الأعداد الأولية للأنواع المعينة، تُستخدم حاليًا مشاريع الحوسبة الموزعة GIMPS أو PrimeGrid أو Ramsey@Home أو Seventeen أو Bust أو Riesel Sieve أو Wieferich@Home.

بعض الخصائص

إذا كان p أوليًا وp يقسم ab، فإن p يقسم a أو b. والدليل على هذه الحقيقة قدمه إقليدس ويعرف باسم ليما إقليدس. يتم استخدامه في إثبات النظرية الأساسية في الحساب.

حلقة الخصومات $\mathbb(Z)_n$ هو حقل إذا وفقط إذا $ن$ - بسيط.

خاصية كل حقل هي صفر أو رقم أولي.

لو $ص$ - بسيطة، ولكن $أ$ - طبيعي إذن $أ ^ ع-أ$ مقسمة على $ص$ (نظرية فيرما الصغيرة).

لو $ز$ هي مجموعة محدودة ترتيبها $|ز|$ مقسمة على $ص$ ، الذي - التي $ز$ يحتوي على عنصر النظام $ص$ (نظرية كوشي).

لو $ز$ هي مجموعة محدودة، و $ع ^ ن$ - الدرجة القصوى $ص$ ، الذي يقسم $|ز|$ ، الذي - التي $ز$ لديه مجموعة فرعية من النظام $ع ^ ن$ ، تسمى مجموعة Sylow الفرعية، علاوة على ذلك، فإن عدد مجموعات Sylow الفرعية يساوي $بك+1$ لبعض كله $ك$ (نظرية سيلو).

طبيعي $ع > 1$ أمر بسيط إذا وفقط إذا $(ص-١)! + 1$ مقسمة على $ص$ (نظرية ويلسون).

لو $ن > 1$ - طبيعي، إذن هناك شيء بسيط $ص$ ، مثل ذلك $ن< p < 2 n$ (مسلمة برتراند).

تتباعد سلسلة معكوسات الأعداد الأولية. علاوة على ذلك، متى $x\to\infty$ $\مستنقع$

أي تقدم حسابي للنموذج $أ، أ + ف، أ + 2 ف، أ + 3 ف، ...$ ، أين $أ، ف > 1$ - الأعداد الصحيحة الأولية المشتركة، تحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (نظرية ديريشليت حول الأعداد الأولية في المتوالية الحسابية).

يمكن تمثيل كل عدد أولي أكبر من 3 $6 كيلو+1$ أو $6 ك-1$ ، أين $ك$ - بعض الأعداد الطبيعية . وبالتالي، إذا كان الفرق بين عدة أرقام أولية متتالية (لـ k>1) هو نفسه، فهو بالضرورة مضاعف للرقم 6 - على سبيل المثال: 251-257-263-269؛ 199-211-223; 20183-20201-20219.

لو $ص > 3$ - بسيطة إذن $ص ^ 2-1$ هو مضاعف للعدد 24 (ينطبق أيضًا على جميع الأعداد الفردية التي لا تقبل القسمة على 3).

نظرية جرين تاو. هناك تتابعات حسابية طويلة ومحدودة بشكل تعسفي تتكون من أعداد أولية.

$ن ^ ك-1$ ، أين ن>2, ك>1. بمعنى آخر، لا يمكن أن يكون الرقم الذي يلي الرقم الأولي مربعًا أو قوة أعلى ذات أساس أكبر من 2. ويترتب على ذلك أيضًا أنه إذا كان الرقم الأولي له الشكل $2^ك-1$ ، الذي - التي ك- أولي (انظر أرقام ميرسين).

لا يمكن أن يكون لأي رقم أولي هذا النموذج $ن^(2ك+1)+1$ ، أين ن>1, ك>0. بمعنى آخر، لا يمكن للرقم الذي يسبق العدد الأولي أن يكون مكعبًا أو قوة فردية أعلى ذات قاعدة أكبر من 1.

صيغ للعثور على الأعداد الأولية

في أوقات مختلفة، جرت محاولات للإشارة إلى تعبير تكون قيمه، في ضوء القيم المختلفة للمتغيرات المضمنة فيه، أرقامًا أولية. وأشار L. أويلر إلى كثير الحدود $\textstyle n^2-n+41,$ أخذ قيم بسيطة في ن = 0، 1، 2، …، 40. رغم ذلك، متى ن = 41قيمة كثيرة الحدود هي رقم مركب. يمكن إثبات أنه لا يوجد كثير حدود في متغير واحد n يأخذ قيما أولية لجميع الأعداد الصحيحة n. اقترح P. Fermat أن جميع الأرقام من النموذج 2 2 ك + 1بسيط؛ ومع ذلك، دحض أويلر هذه الفرضية من خلال إثبات أن الرقم 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - مُجَمَّع.
ومع ذلك، هناك كثيرات الحدود التي تتطابق مجموعة قيمها الموجبة، مع قيم المتغيرات غير السالبة، مع مجموعة الأعداد الأولية. أحد الأمثلة هو كثير الحدود

$\ابدأ(محاذاة)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(محاذاة)تحتوي على 26 متغيرًا ولها درجة 25. أصغر درجة لكثيرات الحدود المعروفة من هذا النوع هي 5 مع 42 متغيرًا؛ أصغر عدد من المتغيرات هو 10 بدرجة حوالي 1.6·10 45. هذه النتيجة هي حالة خاصة من الخاصية الديوفانتينية لأي مجموعة معدودة أثبتها يوري ماتياسيفيتش.

أسئلة مفتوحة

لا تزال هناك العديد من الأسئلة المفتوحة فيما يتعلق بالأعداد الأولية، وأشهرها ما ذكره إدموند لانداو في المؤتمر الدولي الخامس للرياضيات:

ومن المشاكل المفتوحة أيضًا وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية في العديد من التسلسلات الصحيحة، بما في ذلك أرقام ميرسين، وأرقام فيبوناتشي، وأرقام فيرمات، وما إلى ذلك.

التطبيقات

تُستخدم الأعداد الأولية الكبيرة (في حدود 10300) في تشفير المفتاح العام. تُستخدم الأعداد الأولية أيضًا في جداول التجزئة ولإنشاء أرقام عشوائية زائفة (خاصة في Mersenne Twister PRNG).

الاختلافات والتعميمات

في نظرية الحلقة، وهي فرع من الجبر العام، يتم تعريف مفهوم العنصر الأولي والمثل الأعلى.

في نظرية العقدة، يتم تعريف مفهوم العقدة البسيطة على أنها عقدة غير تافهة لا يمكن تمثيلها كمجموع متصل من العقد غير التافهة.

أنظر أيضا

اكتب رأيك عن مقالة "الرقم الأولي"
ملحوظات
|heading3= أدوات الامتداد
أنظمة الأعداد |heading4= التسلسل الهرمي للأرقام |list4=

$-1,\;0,\;1,\;\ldots$ الأعداد الكلية

$-1,\;1,\;\frac(1)(2),\;\;0(,)12,\frac(2)(3),\;\ldots$ أرقام نسبية

$-1,\;1,\;\;0(,)12,\frac(1)(2),\;\pi,\;\sqrt(2),\;\ldots$ أرقام حقيقية

$-1,\;\frac(1)(2),\;0(,)12,\;\pi,\;3i+2,\;e^(i\pi/3),\;\ldots$ ارقام مركبة
$1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac(1)(2)k,\;\dots$ الرباعيات $1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac(\pi)(3)m,\;\ النقاط$ أوكتونيونات $1,\;e_1,\;e_2,\;\النقاط,\;e_(15),\;7e_2 + \frac(2)(5)e_7 - \frac(1)(3)e_(15),\ ؛\النقاط$ سيدينيونز |heading5= أخرى
أنظمة الأعداد |heading6= أنظر أيضا

معلومات عامة

أشكال التخصيم

مع فواصل محدودة

أرقام مع العديد من المقسومات

قسامة ذات الصلة
تسلسلات

آخر

مقتطف يميز العدد الأولي
بعد أن تلقت الكونتيسة نبأ مرض ناتاشا، جاءت الكونتيسة، التي لا تزال غير صحية وضعيفة تمامًا، إلى موسكو مع بيتيا والمنزل بأكمله، وانتقلت عائلة روستوف بأكملها من ماريا دميترييفنا إلى منزلهم واستقرت بالكامل في موسكو.
كان مرض ناتاشا خطيرًا جدًا لدرجة أنه بالنسبة لسعادتها وسعادة عائلتها، أصبح التفكير في كل ما كان سببًا لمرضها وتصرفاتها والانفصال عن خطيبها أمرًا ثانويًا. لقد كانت مريضة للغاية لدرجة أنه كان من المستحيل التفكير في مقدار اللوم الذي تتحمله في كل ما حدث، بينما لم تأكل، ولم تنام، وكانت تفقد وزنها بشكل ملحوظ، وكانت تسعل وكانت، كما جعلها الأطباء تشعر، في حالة من الإرهاق. خطر. كل ما كان علي أن أفكر فيه هو مساعدتها. زار الأطباء ناتاشا بشكل منفصل وفي الاستشارات، وتحدثوا كثيرًا بالفرنسية والألمانية واللاتينية، وأدانوا بعضهم البعض، ووصفوا مجموعة واسعة من الأدوية لجميع الأمراض المعروفة لهم؛ لكن لم يكن لدى أي منهم فكرة بسيطة مفادها أنهم لا يستطيعون معرفة المرض الذي عانت منه ناتاشا، تمامًا كما لا يمكن معرفة أي مرض يصيب شخصًا حيًا: لأن كل شخص حي له خصائصه الخاصة وله دائمًا خصائصه الخاصة الجديدة. ، مرض معقد، لا يعرفه الطب، ليس مرض الرئتين أو الكبد أو الجلد أو القلب أو الأعصاب وغيرها، المسجل في الطب، ولكنه مرض يتكون من واحدة من المركبات التي لا تعد ولا تحصى في معاناة هذه الأعضاء. هذه الفكرة البسيطة لا يمكن أن تخطر على بال الأطباء (تمامًا كما أن فكرة أنه لا يستطيع إلقاء السحر لا يمكن أن تخطر على بالساحر) لأن عمل حياتهم كان للشفاء، ولأنهم كانوا يتلقون المال مقابل ذلك، ولأنهم أمضوا أفضل سنوات حياتهم في هذا العلاج. هذا الامر. لكن الشيء الرئيسي هو أن هذا الفكر لا يمكن أن يخطر على بال الأطباء، لأنهم رأوا أنها مفيدة بلا شك، وكانت مفيدة حقًا لجميع أفراد عائلة روستوف في المنزل. لم تكن مفيدة لأنها أجبرت المريض على ابتلاع مواد ضارة في الغالب (كان هذا الضرر حساسًا قليلاً، لأنه تم إعطاء المواد الضارة بكميات صغيرة)، ولكنها كانت مفيدة وضرورية ولا مفر منها (السبب هو وجودها وستظل موجودة دائمًا) المعالجون الوهميون، والعرافون، والمعالجون المثليون، والمعالجون البديلون) لأنهم أرضوا الاحتياجات الأخلاقية للمريض والأشخاص الذين يحبون المريض. لقد أشبعوا حاجة الإنسان الأبدية إلى الأمل في الإغاثة، والحاجة إلى التعاطف والنشاط الذي يعاني منه الإنسان أثناء المعاناة. لقد أقنعوا أن الإنسان الأبدي - الذي يمكن ملاحظته عند الطفل في أكثر أشكاله بدائية - يحتاج إلى فرك المكان المصاب بالكدمات. يُقتل الطفل ويركض على الفور إلى أحضان الأم، المربية، حتى يتمكنوا من تقبيل وفرك البقعة المؤلمة، ويصبح الأمر أسهل بالنسبة له عندما يتم فرك أو تقبيل البقعة المؤلمة. لا يعتقد الطفل أن أقوى أبنائه وأكثرهم حكمة لا يملكون الوسائل لتخفيف آلامه. والأمل في الراحة وعبارات التعاطف بينما تقوم والدته بتدليك كتلته يريحه. كان الأطباء مفيدين لناتاشا لأنهم قبلوا وفركوا البوبو، وأكدوا أن الأمر سينتهي الآن إذا ذهب السائق إلى صيدلية أربات وأخذ مساحيق وحبوب بقيمة سبعة هريفنيا في صندوق جميل مقابل روبل، وإذا كانت هذه المساحيق ستختفي بالتأكيد خلال ساعتين لا أكثر ولا أقل يأخذه المريض في ماء مغلي.
ماذا ستفعل سونيا، الكونت والكونتيسة، كيف سينظرون إلى ناتاشا الضعيفة، الذائبة، لا تفعل شيئًا، إذا لم تكن هناك هذه الحبوب بالساعة، وشرب شيئًا دافئًا، وكستلاتة دجاج وكل تفاصيل الحياة الموصوفة الطبيب، والتي كانت مهمة المراقبة والراحة للآخرين؟ وكلما كانت هذه القواعد أكثر صرامة وتعقيدًا، كانت أكثر راحة لمن حولهم. كيف سيتحمل الكونت مرض ابنته الحبيبة إذا لم يكن يعلم أن مرض ناتاشا كلفه آلاف الروبلات وأنه لن يدخر آلافًا أخرى لخيرها: إذا لم يكن يعلم أنها إذا لم تتعاف، فهو ألن يبقي على آلاف آخرين ويأخذها إلى الخارج ويعقد مشاورات هناك؛ لو لم تتح له الفرصة لإخبار التفاصيل حول كيف لم يفهم ميتيفير وفيلر، لكن فريز فهم، وحدد مودروف المرض بشكل أفضل؟ ماذا ستفعل الكونتيسة إذا لم تتمكن أحيانًا من التشاجر مع ناتاشا المريضة لأنها لم تمتثل تمامًا لتعليمات الطبيب؟
قالت وهي تنسى حزنها من الإحباط: "لن تتحسن أبدًا، إذا لم تستمع إلى الطبيب وتتناول دوائك في الوقت الخطأ!" "بعد كل شيء، لا يمكنك المزاح عندما تصاب بالالتهاب الرئوي"، قالت الكونتيسة، وفي نطق هذه الكلمة، التي كانت غير مفهومة لأكثر من كلمة واحدة، وجدت بالفعل عزاءًا كبيرًا. ماذا ستفعل سونيا إذا لم تكن لديها المعرفة المبهجة بأنها لم تخلع ملابسها لمدة ثلاث ليال في البداية حتى تكون مستعدة لتنفيذ جميع أوامر الطبيب بالضبط، وأنها الآن لا تنام في الليل حتى لا تفوتها الساعة التي يجب أن تعطي فيها حبوباً قليلة الضرر من العلبة الذهبية؟ حتى ناتاشا نفسها، التي، على الرغم من أنها قالت إنه لا يوجد دواء يمكن أن يعالجها وأن كل هذا هراء، كانت سعيدة برؤية أنهم قدموا لها الكثير من التبرعات، وأنها اضطرت إلى تناول الدواء في أوقات معينة، وحتى هي كانت سعيدة هو أنها، من خلال إهمال اتباع التعليمات، يمكن أن تظهر أنها لا تؤمن بالعلاج ولا تقدر حياتها.
ذهب الطبيب كل يوم، وشعر بنبضها، ونظر إلى لسانها، ولم ينتبه إلى وجهها المقتول، مازحها معها. ولكن عندما ذهب إلى غرفة أخرى، تبعته الكونتيسة على عجل، وألقى نظرة جادة وهز رأسه مفكرًا، وقال إنه على الرغم من وجود خطر، فإنه يأمل أن ينجح هذا الدواء الأخير، وأنه كان عليه أن يفعل ذلك. انتظر و شاهد ؛ أن المرض أكثر أخلاقية، ولكن...
حاولت الكونتيسة إخفاء هذا الفعل عن نفسها وعن الطبيب، فدست قطعة ذهبية في يده وفي كل مرة عادت إلى المريض بقلب مهدئ.
كانت علامات مرض ناتاشا هي أنها تأكل قليلاً، وتنام قليلاً، وتسعل، ولا تنتعش أبداً. وقال الأطباء إن المريضة لا يمكن أن تترك دون رعاية طبية، ولذلك أبقوها في هواء المدينة الخانق. وفي صيف عام 1812 لم يغادر آل روستوف إلى القرية.
رغم كثرة الحبوب والقطرات والمساحيق المبتلعة من الجرار والصناديق، والتي جمعت منها مدام شوس، صائدة هذه الأشياء، مجموعة كبيرة، رغم غياب الحياة القروية المعتادة، إلا أن الشباب كان له أثره: بدأ حزن ناتاشا كانت مغطاة بطبقة من انطباعات الحياة التي عاشتها، وتوقف عن الشعور بألم مؤلم في قلبها، وبدأ يصبح شيئًا من الماضي، وبدأت ناتاشا في التعافي جسديًا.
كانت ناتاشا أكثر هدوءا، ولكن ليس أكثر بهجة. فهي لم تتجنب فقط كل ظروف الفرح الخارجية: الحفلات الراقصة، والتزلج، والحفلات الموسيقية، والمسرح؛ لكنها لم تضحك أبدًا بشدة بحيث لا يمكن سماع الدموع من ضحكها. لم تستطع الغناء. بمجرد أن بدأت تضحك أو حاولت الغناء لنفسها بمفردها، اختنقتها الدموع: دموع التوبة، دموع ذكريات ذلك الوقت النقي الذي لا رجعة فيه؛ دموع الإحباط لأنها دمرت حياتها الصغيرة، والتي كان من الممكن أن تكون سعيدة للغاية، من أجل لا شيء. بدا لها الضحك والغناء بشكل خاص تجديفًا على حزنها. لم تفكر قط في الغنج. لم يكن عليها حتى الامتناع عن التصويت. قالت وشعرت أنه في ذلك الوقت كان جميع الرجال بالنسبة لها تمامًا مثل المهرج ناستاسيا إيفانوفنا. لقد منعها الحارس الداخلي بشدة من أي فرحة. ولم تكن لديها كل اهتمامات الحياة القديمة من أسلوب الحياة البنت الخالي من الهموم والمفعم بالأمل. في أغلب الأحيان وبشكل مؤلم، تذكرت أشهر الخريف، والصيد، وعمها وعيد الميلاد الذي قضاه مع نيكولاس في أوترادنوي. ماذا ستعطي لتعود بيوم واحد فقط من ذلك الوقت! لكن الأمر انتهى إلى الأبد. ولم يخدعها حينها هاجس أن حالة الحرية والانفتاح على كل الأفراح لن تعود مرة أخرى. ولكن كان علي أن أعيش.
لقد كان من دواعي سرورها أن تعتقد أنها لم تكن أفضل، كما اعتقدت من قبل، ولكنها أسوأ وأسوأ بكثير من الجميع، كل شخص في العالم. ولكن هذا ليس بكافي. عرفت ذلك وسألت نفسها: «وماذا بعد؟» ثم لم يكن هناك شيء. لم يكن هناك فرح في الحياة، ومرت الحياة. يبدو أن ناتاشا كانت تحاول فقط ألا تكون عبئًا على أي شخص ولا تزعج أحداً، لكنها لم تكن بحاجة إلى أي شيء لنفسها. لقد ابتعدت عن كل من في المنزل، وفقط مع شقيقها بيتيا شعرت بالراحة. كانت تحب أن تكون معه أكثر من الآخرين؛ وأحيانًا، عندما كانت تواجهه وجهًا لوجه، كانت تضحك. لم تغادر المنزل أبدًا تقريبًا ومن بين الذين أتوا إليهم كانت سعيدة فقط ببيير. كان من المستحيل معاملتها بحنان أكبر وعناية أكبر وفي نفس الوقت بجدية أكبر مما عاملها الكونت بيزوخوف. شعرت ناتاشا أوس بوعي بحنان المعاملة ولذلك وجدت متعة كبيرة في رفقته. لكنها لم تكن ممتنة له حتى على حنانه؛ لم يكن هناك أي شيء جيد من جانب بيير يبدو وكأنه جهد بالنسبة لها. بدا من الطبيعي جدًا بالنسبة لبيير أن يكون لطيفًا مع الجميع لدرجة أنه لم يكن هناك أي ميزة في لطفه. لاحظت ناتاشا في بعض الأحيان حرج بيير وإحراجه في حضورها، خاصة عندما يريد أن يفعل لها شيئًا ممتعًا أو عندما كان يخشى أن يثير شيء ما في المحادثة ذكريات صعبة لنتاشا. لاحظت ذلك وأرجعته إلى طيبته العامة وخجله الذي، بحسب أفكارها، كان ينبغي أن يكون مع الجميع كما هي الحال معها. بعد تلك الكلمات غير المتوقعة أنه إذا كان حرا، فسيكون على ركبتيه يطلب يدها وحبها، تحدث في لحظة من الإثارة القوية لها، لم يقل بيير أي شيء عن مشاعره تجاه ناتاشا؛ وكان من الواضح لها أن تلك الكلمات التي خففت عنها كثيرًا في ذلك الوقت، قيلت كما لو كانت كل أنواع الكلمات التي لا معنى لها تُقال لتعزية طفل يبكي. ليس لأن بيير كان رجلاً متزوجًا، ولكن لأن ناتاشا شعرت بينها وبينه إلى أقصى درجة بتلك القوة من الحواجز الأخلاقية - التي شعرت بغيابها مع كيراجين - لم يخطر ببالها أبدًا أنها تستطيع الخروج من علاقتها مع بيير. ليس فقط الحب من جانبها، أو حتى أقل من جانبه، ولكن حتى هذا النوع من الصداقة الشعرية الرقيقة والمعترفة بذاتها بين الرجل والمرأة، والتي عرفت عدة أمثلة عليها.
في نهاية صوم بطرس، جاءت أجرافينا إيفانوفنا بيلوفا، جارة روستوف من أوترادننسكي، إلى موسكو لتنحني لقديسي موسكو. لقد دعت ناتاشا إلى الصيام، واستولت ناتاشا بسعادة على هذه الفكرة. على الرغم من منع الطبيب من الخروج في الصباح الباكر، أصرت ناتاشا على الصيام، والصيام ليس كما يصومون عادة في منزل روستوف، أي حضور ثلاث قداسات في المنزل، ولكن الصيام كما تصوم أجرافينا إيفانوفنا، أي ، لمدة أسبوع كامل دون أن تفوت صلاة الغروب أو القداس أو الصبح.
أعجبت الكونتيسة بحماسة ناتاشا هذه؛ في روحها، بعد علاج طبي غير ناجح، كانت تأمل أن تساعدها الصلاة بالمزيد من الدواء، وعلى الرغم من الخوف وإخفائها عن الطبيب، وافقت على رغبات ناتاشا وعهدت بها إلى بيلوفا. جاءت أجرافينا إيفانوفنا لإيقاظ ناتاشا في الساعة الثالثة صباحًا ووجدتها في الغالب لم تعد نائمة. كانت ناتاشا تخشى أن تنام أثناء صلاة الفجر. غسلت وجهها على عجل وارتدت بتواضع أسوأ ثيابها وعباءتها القديمة، مرتجفة من النضارة، وخرجت ناتاشا إلى الشوارع المهجورة، مضاءة بشفافية مع فجر الصباح. بناءً على نصيحة أجرافينا إيفانوفنا، لم تصام ناتاشا في رعيتها، بل في الكنيسة، حيث، بحسب بيلوفا المتدينة، كان هناك كاهن صارم للغاية ورفيع المستوى. كان هناك دائمًا عدد قليل من الناس في الكنيسة؛ أخذت ناتاشا وبيلوفا مكانهما المعتاد أمام أيقونة والدة الإله، المغروسة في الجزء الخلفي من الجوقة اليسرى، وشعر ناتاشا بشعور جديد قبل أن يغطيها الكبير، غير المفهوم، عندما في هذه الساعة غير العادية من الصباح، نظرت إلى وجه والدة الإله الأسود، المضاء بالشموع المشتعلة أمامه، ونور الصباح المتساقط من النافذة، واستمعت إلى أصوات الخدمة التي حاولت متابعتها، وفهمتها. وعندما فهمتها، انضم شعورها الشخصي بفروقه الدقيقة إلى صلاتها؛ وعندما لم تكن تفهم، كان من الأجمل بالنسبة لها أن تعتقد أن الرغبة في فهم كل شيء هي كبرياء، وأنه من المستحيل فهم كل شيء، وأن على المرء فقط أن يؤمن بالله ويستسلم له، الذي -شعرت في تلك اللحظات- حكمت روحها. عبرت وانحنت وعندما لم تفهم، طلبت فقط من الله أن يغفر لها، على كل شيء، وأن يرحمها، مرعوبة من رجسها. وأكثر الصلوات التي كرست لها نفسها كانت صلاة التوبة. عند عودتها إلى المنزل في الساعات الأولى من الصباح، حيث لم يكن هناك سوى عمال البناء الذين يذهبون إلى أعمالهم، وعمال النظافة يكنسون الشوارع، وكان جميع من في المنازل لا يزالون نائمين، شعرت ناتاشا لديها بشعور جديد بإمكانية تصحيح نفسها من رذائلها و إمكانية حياة جديدة ونظيفة والسعادة.
طوال الأسبوع الذي عاشت فيه هذه الحياة، كان هذا الشعور ينمو كل يوم. وبدت لها سعادة الانضمام أو التواصل، كما أخبرتها أجرافينا إيفانوفنا، وهي تلعب بهذه الكلمة بفرح، عظيمة جدًا لدرجة أنها بدت لها أنها لن تعيش لترى هذا الأحد السعيد.
لكن اليوم السعيد جاء، وعندما عادت ناتاشا من المناولة في هذا الأحد الذي لا يُنسى، بفستان أبيض من الموسلين، لأول مرة بعد عدة أشهر، شعرت بالهدوء ولم تكن مثقلة بالحياة التي تنتظرها.
قام الطبيب الذي وصل في ذلك اليوم بفحص ناتاشا وأمرها بمواصلة المساحيق الأخيرة التي وصفها لها منذ أسبوعين.
وقال، على ما يبدو، مسروراً بنجاحه: "علينا أن نستمر، صباحاً ومساءً". - فقط من فضلك كن أكثر حذرا. "كوني هادئة أيتها الكونتيسة"، قال الطبيب مازحًا، وهو يلتقط الذهب من لب يده بمهارة، "قريبًا سيبدأ في الغناء والمرح مرة أخرى." الدواء الأخير جيد جدًا لها. إنها منتعشة للغاية.
نظرت الكونتيسة إلى أظافرها وبصقت، وعادت إلى غرفة المعيشة بوجه مرح.
في بداية شهر يوليو، انتشرت المزيد والمزيد من الشائعات المثيرة للقلق حول تقدم الحرب في موسكو: كانوا يتحدثون عن نداء الملك إلى الشعب، وعن وصول الملك نفسه من الجيش إلى موسكو. وبما أن البيان والاستئناف لم يصلا قبل 11 يوليو/تموز، فقد انتشرت شائعات مبالغ فيها عنهما وعن الوضع في روسيا. قالوا إن السيادة ستغادر، لأن الجيش كان في خطر، قالوا إن سمولينسك قد استسلم، وكان لدى نابليون مليون جندي وأن المعجزة فقط هي التي يمكن أن تنقذ روسيا.
وفي 11 يوليو، السبت، تم استلام البيان، ولكن لم تتم طباعته بعد؛ ووعد بيير، الذي كان يزور عائلة روستوف، بالحضور لتناول العشاء في اليوم التالي، الأحد، وإحضار بيان واستئناف سيحصل عليه من الكونت راستوبشين.
هذا الأحد، ذهبت عائلة روستوف، كالعادة، لحضور القداس في كنيسة منزل عائلة رازوموفسكي. كان يومًا حارًا من أيام شهر يوليو. بالفعل في الساعة العاشرة صباحًا، عندما نزلت عائلة روستوف من العربة أمام الكنيسة، في الهواء الساخن، في صيحات الباعة المتجولين، في فساتين الصيف المشرقة والخفيفة للحشد، في أوراق الشجر المتربة. أشجار الجادة، في أصوات الموسيقى والسراويل البيضاء للكتيبة السائرة في المسيرة، في رعد الرصيف وفي اللمعان الساطع للشمس الحارقة كان ذلك الكسل الصيفي والرضا وعدم الرضا عن الحاضر، وهو ما يشعر به بشكل حاد بشكل خاص في يوم حار صافٍ في المدينة. في كنيسة رازوموفسكي كان هناك جميع نبلاء موسكو، وجميع معارف عائلة روستوف (هذا العام، كما لو كانوا يتوقعون شيئًا ما، بقي الكثير من العائلات الغنية، التي تسافر عادة إلى القرى، في المدينة). أثناء مرورها خلف عامل المشاة الذي كان يفرق الحشد بالقرب من والدتها، سمعت ناتاشا صوت شاب يتحدث عنها بصوت عالٍ بصوت عالٍ:
- هذه روستوفا، نفس الشيء...
- لقد فقدت الكثير من الوزن، لكنها لا تزال بحالة جيدة!
سمعت، أو بدا لها، أنه تم ذكر أسماء كوراجين وبولكونسكي. ومع ذلك، بدا الأمر دائمًا بهذه الطريقة بالنسبة لها. بدا لها دائمًا أن الجميع ينظرون إليها ولا يفكرون إلا فيما حدث لها. معاناة وتلاشي في روحها، كما هو الحال دائمًا وسط حشد من الناس، سارت ناتاشا بفستانها الحريري الأرجواني مع الدانتيل الأسود بالطريقة التي يمكن أن تمشي بها النساء - كلما كانت أكثر هدوءًا وفخامة كلما كانت أكثر ألمًا وخجلًا في روحها. لقد عرفت ولم تكن مخطئة أنها جيدة، لكن هذا لم يرضيها الآن كما كان من قبل. على العكس من ذلك، كان هذا ما عذبها مؤخرًا، وخاصة في هذا اليوم الصيفي الحار والمشرق في المدينة. قالت لنفسها وهي تتذكر كيف كانت هنا في ذلك الأحد: «أحد آخر، أسبوع آخر، ولا تزال نفس الحياة بدون حياة، وكل الظروف نفسها التي كان من السهل جدًا العيش فيها من قبل. إنها جيدة، إنها شابة، وأعلم أنني الآن جيدة، قبل أن أكون سيئة، ولكن الآن أنا جيدة، أعرف، وهكذا فإن أفضل السنوات تمر هباءً، بالنسبة لأحد. وقفت بجانب والدتها وتبادلت الكلمات مع معارفها القريبين. قامت ناتاشا، بسبب عادتها، بفحص فساتين السيدات، وأدانت الطريقة [السلوكية] والطريقة غير المحتشمة في عبور نفسها بيدها في المساحة الصغيرة لسيدة تقف بالقرب منها، واعتقدت مرة أخرى بانزعاج أنه يتم الحكم عليها، وأنها كانت أيضًا تحكم، وفجأة، عندما سمعت أصوات الخدمة، شعرت بالرعب من رجسها، وشعرت بالرعب من فقدان نقائها السابق بسببها مرة أخرى.
كان الشيخ الوسيم الهادئ يخدم بتلك الوقار اللطيف الذي كان له تأثير مهيب ومهدئ على نفوس المصلين. أغلقت الأبواب الملكية، وأغلق الستار ببطء؛ قال صوت هادئ غامض شيئًا من هناك. وقفت الدموع غير المفهومة في صدر ناتاشا، وكان يقلقها شعور بهيج ومؤلم.
"علمني ما يجب أن أفعله، وكيف يمكنني أن أتحسن إلى الأبد، وإلى الأبد، وما يجب أن أفعله في حياتي..." فكرت.
خرج الشماس إلى المنبر، وقام بفرد شعره الطويل من تحت كهنوته، وبسط إبهامه على نطاق واسع، ووضع صليبًا على صدره، وبدأ بصوت عالٍ ورسمي في قراءة كلمات الصلاة:
- "فلنصل إلى الرب بسلام".
فكرت ناتاشا: "في سلام - جميعًا معًا، دون تمييز في الطبقات، دون عداوة، ومتحدين بالحب الأخوي - دعونا نصلي".
- عن العالم السماوي وخلاص نفوسنا!
صليت ناتاشا: "من أجل سلام الملائكة وأرواح جميع المخلوقات غير المادية التي تعيش فوقنا".
وعندما صلوا من أجل الجيش، تذكرت شقيقها ودينيسوف. ولما صلوا من أجل المبحرين والمسافرين، تذكرت الأمير أندريه وصليت من أجله، وصليت أن يغفر لها الله على الشر الذي فعلته به. عندما صلوا من أجل أولئك الذين أحبونا، صليت من أجل عائلتها، من أجل والدها وأمها وسونيا، التي أدركت الآن لأول مرة كل ذنبها أمامهم وتشعر بكل قوة حبها لهم. وعندما صلوا على من يكرهنا اخترعت لنفسها أعداء وكارهين لكي تدعو لهم. كانت تحسب الدائنين وكل من تعامل مع والدها من بين أعدائها، وفي كل مرة، عندما كانت تفكر في الأعداء والكارهين، كانت تتذكر أناتول الذي ألحق بها الكثير من الأذى، ورغم أنه لم يكن كارهًا، إلا أنها كانت تصلي بفرح له كما للعدو. فقط أثناء الصلاة، شعرت بأنها قادرة على تذكر الأمير أندريه وأناتول بوضوح وهدوء، كأشخاص دمرت مشاعرها مقارنة بشعورها بالخوف والتقديس لله. عندما صلوا من أجل العائلة المالكة ومن أجل السينودس، انحنت بشكل خاص ورسمت إشارة الصليب، وقالت لنفسها إنها إذا لم تفهم، فلا يمكنها أن تشك في المجمع الحاكم وما زالت تحبه وتصلي من أجله.
وبعد الانتهاء من الصلاة، وضع الشماس النعش حول صدره وقال:
- "نحن نسلم أنفسنا وحياتنا للمسيح الإله".
كررت ناتاشا في روحها: "سنسلم أنفسنا لله". فكرت: "يا إلهي، إنني أسلم نفسي لإرادتك". - لا أريد شيئًا، لا أرغب في أي شيء؛ علمني ماذا أفعل وأين أستخدم إرادتي! خذني، خذني! - قالت ناتاشا بفارغ الصبر في روحها، دون أن تتقاطع، وتخفض يديها الرقيقتين وكأنها تتوقع أن تأخذها قوة غير مرئية وتخلصها من نفسها، من ندمها ورغباتها وتوبيخها وآمالها ورذائلها.
نظرت الكونتيسة عدة مرات خلال الخدمة إلى وجه ابنتها الرقيق والمتلألئ وصليت إلى الله لمساعدتها.